第三章线性时间序列模型的识别、估计与检验 第一节模型的识别 一、p、与φs的估计 设Y1,Y2,…,YN是序列{Y}的一段观测资料,N为样本长 度。 ①样本均值为: F=∑F 它是总体均值函数EY1的估计。 ②样本自协方差: ∑(-yXn-) 它是总体自协方差y,的估计。 ③样本自相关系数 它是总体自相关系数p,的估计。 ④样本偏自相关系数 根据样本自相关系数,利用Yule- Walker方程,可直接解出偏自 相关函数(计算机软件采用迭代方法求解) 二、性质及识别 (1)对于MA(q)模型,可以证明(BOX,P216)样本自相关 函数P,具有如下分布: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第三章 线性时间序列模型的识别、估计与检验 第一节 模型的识别 一、 ρs与φSS的估计 设 Y1，Y2，…，YN是序列｛Yt｝的一段观测资料，N 为样本长 度。 ①样本均值为： å= = N t Yt N I Y 1 它是总体均值函数 EYt的估计。 ②样本自协方差： (Y Y )(Y Y ) N C t s N S t s = t - + - - = å1 1 它是总体自协方差 s g 的估计。 ③样本自相关系数： 0 ˆ C Cs rs = 它是总体自相关系数 rs的估计。 ④样本偏自相关系数jss 根据样本自相关系数，利用 Yule-Walker 方程，可直接解出偏自 相关函数（计算机软件采用迭代方法求解）。 二、性质及识别 （1）对于 MA（q）模型，可以证明（BOX，P216）样本自相关 函数 rs ˆ 具有如下分布： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
N2空 由于s>q时,p,=0,因此, P (s>q时) 从而 1+2∑p ≈68.3% N <-1+2p2||≈955% 记的标准误:SE(q)=SE(户一{1+22 在实际应用中,取m=N/0(或√N),寻找q=q*,当 qP+2Py+m中满足关系式 ≤2SE(q 的个数占m个的955%时,可判定P在q*步后截尾,从而序列服从 (2)对于AR(p)模型,可以证明样本偏自相关函数φ具有如 下分布: N 由于当s>p时,os=0,故 6。NO,1N)(sp) 在实际应用中,类似于MA(q)模型,可根据 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¾¾®¾ + å= q t s s t N N 1 2 1 2 1 rˆ r , r 渐进 由于 s>q 时， rs =0，因此， ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¾¾®¾ + å= q t s t N N 1 2 1 2 1 rˆ 0, r 渐进 （s>q 时） 从而 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ < + å= 1/ 2 1 2 1 2 1 ˆ q t s t N P r r ≈68.3% ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ < + å= 1/ 2 1 2 1 2 2 ˆ q t s t N P r r ≈95.5% 记rs ˆ 的标准误：SE（q） D = SE( rs ˆ )= 1/ 2 1 2 1 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + å= q t t N r 在 实 际 应 用 中 ， 取 m=N/10( 或 N ) ， 寻 找 q=q* ， 当 rq+ rq+ rq+m ˆ , ˆ , , ˆ 1 2 L 中满足关系式 rs ˆ ≤2SE（q） 的个数占 m 个的 95.5%时，可判定 rs ˆ 在 q*步后截尾，从而序列服从 MA（q）。 （2）对于 AR（p）模型，可以证明样本偏自相关函数jss ˆ 具有如 下分布： jss ˆ ÷ ø ö ç è æ ¾¾®¾ N N ss 1 j , 渐进 由于当 s>p 时， jSS =0，故 jss ˆ 渐进 ~ N(0, 1/N) （s>p） 在实际应用中，类似于 MA（q）模型，可根据 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
P(i|<)=959%(由两倍标准误来判断截尾性) 来判断序列是否服从某个AR(p)模型。 (3)对于ARMA(pq)模型,由于ps和中ss是拖尾的,因此p 与@也会出现拖尾特性。但ARMA(p,q)模型的阶数p,q不可能象 AR和MA模型的识别那样有明显的识别法则。一般只能从低阶到高 阶进行探试。 第二节模型估计 经过对序列的初识别后,就可对所选模型进行参数估计。 AR(p)模型参数的矩估计 假定序列Y经过识别,确定为p阶的AR(p)模型,即Y满足 Y=qH1+q22+…+nPn+E q192…,9,为未知参数。我们的目的是估计q,92…2° 根据Yule- Walker方程,有 PI Pp-2 用样本自相关函数代替总体自相关函数,可以得到参数 q1,92…q的估计: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
) 2 ( ˆ N P jss < =95.5%（由两倍标准误来判断截尾性） 来判断序列是否服从某个 AR（p）模型。 （3）对于 ARMA（p,q）模型，由于ρs和φSS是拖尾的，因此rs ˆ 与jss ˆ 也会出现拖尾特性。但 ARMA（p, q）模型的阶数 p, q 不可能象 AR 和 MA 模型的识别那样有明显的识别法则。一般只能从低阶到高 阶进行探试。 第二节 模型估计 经过对序列的初识别后，就可对所选模型进行参数估计。 一、AR（p）模型参数的矩估计 假定序列 Yt经过识别，确定为 p 阶的 AR（p）模型，即 Yt满足 Yt= Y Y pYp t j +j +L+j + e 1 1 2 2 j j j p , , , 1 2 L 为未知参数。我们的目的是估计j j j p , , , 1 2 L 。 根据 Yule-Walker 方程，有 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - - - p p p p p p r r r j j j r r r r r r M M L L L L L L L 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 用 样 本自 相 关函数代替 总体 自 相关函 数 ，可 以 得到 参 数 j j j p , , , 1 2 L 的估计： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Pp-2p 此外,也可使用OLS或ML估计方法来估计参数。 二、MA(q)模型的参数估计 对于MA(q)模型 Yt=εr1ε E 由上一章的结论知,Yt的自协方差函数满足: 70=G(1+6 +O2) y,=2(0,+001+…+040) 用代替y,得到参数01,02,…,2所满足的非线性方 程组。可直接求解,也可用迭代方法求解出:6,02…0,G2 三、ARMA(pq)模型的参数估计 ①由上一章关于ARMA(p,q)模型的自相关函数所满足的 Yule- Walker方程,有 当s>q时 ps=中1ps1+φ2p 取s=q+1,q+2,…,q+p可得到线性方程组: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - - - - p p p p p p p r r r r r r r r r j j j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 L L L L L L L L L 此外，也可使用 OLS 或 ML 估计方法来估计参数。 二、MA（q）模型的参数估计 对于 MA（q）模型 Yt =εt–θ1εt-1–…–θqεt-q 由上一章的结论知，Yt的自协方差函数满足： (1 ) 2 2 1 2 0 s q qq g = + +L+ ( ) 1 1 2 s s qs q q s qq sqq g = - + + +L+ - 用 s gˆ 代替 s g ，得到参数θ1，θ2，…θq，σ2 所满足的非线性方 程组。可直接求解，也可用迭代方法求解出： 2 1 2 , ˆ ˆ , , ˆ , q ˆ q L qq s 三、ARMA（p,q）模型的参数估计 ①由上一章关于 ARMA（p, q）模型的自相关函数所满足的 Yule-Walker 方程，有 当 s>q 时 ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p 取 s = q+1，q+2，…，q+ p 可得到线性方程组： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
p+1 ,p Pg-I P Pg P 用戶代替ps,可解出ⅵ,2…9 )令 =y-1 则的自协方差函数可以由y,的自协方差函数y表示 =E()=∑EOyy-) 氵,=∑ ③将j近似看成MA(q)模型, 0 e 由于的自协方差函数产已知,故由MA(q)模型参数估计方 法可得θ1,θ2,…,θa的估计值。 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + + + + - - + - - + - - + q p q q q p q p q p q q q p q q q p r r r j j j r r r r r r r r r M M L L L L L L L 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 用 rs ˆ 代替ρs，可解出j j j p ˆ , ˆ , , ˆ 1 2 L 。 ②令 t t t p t p y y y y = -j - - -j - ˆ ˆ ~ 1 1 L 则 t y ~ 的自协方差函数可以由 t y 的自协方差函数 s g 表示： ) ˆ ˆ ( ) ~ ~ ( ~ , 0 j t i t s j p i j s t t s i E y y E y y - - - = g = - = åj j = j i s p i j i j - + = åj j g , 0 ˆ ˆ ③将 t y ~ 近似看成 MA（q）模型， t y ~ =εt–θ1εt-1–…–θqεt-q 由于 t y ~ 的自协方差函数g ~ˆ 已知，故由 MA（q）模型参数估计方 法可得θ1，θ2，…，θq的估计值。 j j i s p i j s i - + = g = å jˆ jˆ gˆ ~ˆ , 0 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com