第八章ARCH模型 不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。例如,宏观经 济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确 定性等。在模型分析中,经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度 量。而且为了分析简洁,通常对模型作出一些假定,例如在回归模型中假定随机 扰动项满足零均值、同方差和互不相关。然而,实践表明,许多经济时间序列在 经历一段相对平稳的时期后,都有非常大的波动。如图,沪深股票市场日收益率 变异情况就具有这种特性 O.1 0.1 1000 图3.2.1(a)上证指数收益率时序图(1990.12.19-2001.07.31) 1500 图3.2.1(b)深圳指数收益率时序图(1991.04.03-2001.07.31) 在这种情况下,同方差假定是不恰当的。在这种情况下,人们关心的是如何 预测序列的条件方差。例如,作为资产持有者,他既关心收益率的预测值,同时 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 第八章 ARCH 模型 不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。例如，宏观经 济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确 定性等。在模型分析中，经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度 量。而且为了分析简洁，通常对模型作出一些假定，例如在回归模型中假定随机 扰动项满足零均值、同方差和互不相关。然而，实践表明，许多经济时间序列在 经历一段相对平稳的时期后，都有非常大的波动。如图，沪深股票市场日收益率 变异情况就具有这种特性。 图 3.2. 1（ a） 上 证 指数收益率 时 序 图 （ 1990.12.19— 2001.07.31） 图 3.2. 1（ b） 深 圳 指 数 收 益率时序 图 （ 1 991.04.03— 2001.07.3 1） 在这种情况下，同方差假定是不恰当的。在这种情况下，人们关心的是如何 预测序列的条件方差。例如，作为资产持有者，他既关心收益率的预测值，同时 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 500 1000 1500 2000 2500 SHZSRX -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 500 1000 1500 2000 2500 SZZSR PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
也关心持有期内方差的大小。如果一位投资者计划在第t时期买入某项资产,在 第t+1时期售岀,则无条件方差(即方差的长期预测值)对他来讲就不重要了。 对于这一类问题,可以使用自回归条件异方差模型( autoregressive conditional heteroskedastic model,简称ARCH模型)来进行分析 最早的ARH模型是由 Robert Engle于1982年建立的,因此它的发展历史 不长。但是,这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的 分析,ARH模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。 第一节ARCH模型的概念与性质 1、ARCH过程 ARCH模型的一般性定义如下。假设时间序列{ν,}服从如下回归模型: X2+ 其中X是外生变量向量,它可以包含被解释变量的滞后项,ξ是回归参 数向量。 如果扰动项序列{u}满足: u2~N(0,h) 1.2) h,=h(u (8.1.3) 其中Ω1={,X12y2X2…为t时期以前的信息集。h()是一个q元非负函数, 则称{}服从q阶自回归条件异方差(ARCH(q))模型。 例如,如果{un}满足 l=Co+a1-1+…+a4l1-q+E (8.1.4) 其中系数αn>0,a1≥0i=1…,q),{;}为白噪声。则有 h=mr(u121)=E(x2921)=a0+a1x21+…+an2 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 也关心持有期内方差的大小。如果一位投资者计划在第 t 时期买入某项资产，在 第 t+1 时期售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了。 对于这一类问题，可以使用自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedastic model ，简称 ARCH 模型）来进行分析。 最早的 ARCH 模型是由 Robert Engle 于 1982 年建立的，因此它的发展历史 不长。但是，这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的 分析，ARCH 模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。 第一节 ARCH 模型的概念与性质 1、ARCH 过程 ARCH 模型的一般性定义如下。假设时间序列{yt}服从如下回归模型： t t t y = X x + u ' (8.1.1) 其中 X 是外生 变量向 量，它可以包含被解释变量的滞后项， x 是回归参 数向量。 如果扰动项序列{ut}满足： ~ (0 , ) ut Wt-1 N ht (8.1.2) ( , , ) ht = h ut-1 L ut-q (8.1.3) 其中Wt-1 = {yt-1 , Xt ¢ -1 , yt-2 , Xt ¢ -2 ,L}为 t 时期以前的信息集。h（）是一个 q 元非负函数， 则称{ }t u 服从 q 阶自回归条件异方差（ARCH（q））模型。 例如，如果{ut}满足 ut ut q ut q t = a +a + +a + e - - 2 2 0 1 1 2 L (8.1.4) 其中系数 0, 0( 1, , ) a0 > ai ³ i = L q ，{et}为白噪声。则有： 2 2 1 0 1 1 2 1 ( ) ( ) ht = Var ut Wt- = E ut Wt- =a +a ut- +L+aq ut-q PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
其中系数an>0,a1≥0i=1,…,q)可以保证h的非负性。条件方差h,随{,}过去值的变 化而变化,在这种情况下,我们称{n}服从具有线性参数形式的q阶自回归条件异 方差模型 在实际应用中,为了简化描述{1}的自回归条件异方差特征,可以对{}施加 些假定,设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定 et =a0+a11-1 …+Cl dN(0,1) 显然 Q hE12-1)=√E(:)=0 par(u121)=E(u22,)=E(h61)221]=hE(E22)=h 即u,1~N(0,h),从而{n}服从自回归条件异方差(ARCH(q))模型。 在 Engle(1982)所建议的各种条件异方差模型中,最简单的一种是如下ACH u,=E,vao +a1ui-1 (8.1.6) 其中{E,}是方差为o2=1的正态白噪声过程,ε,与u1相互独立,ao和a1为常数且满 足条件a0>0和0<a1<1 2、ARCH模型的性质 下面我们以(8.1.6)式所描述的ARCH(1)模型为例,考察ARCH序列{}的性 质。由于E,是白噪声且与u相互独立,易证{u,}的每一项的均值为零且彼此间互不 相关。而且, Eu1=E{,√a0+a2}=E,E(√a0+a2}=0 (8.1.7) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
3 其中系数 0, 0( 1, , ) a0 > ai ³ i = L q 可以保证ht 的非负性。条件方差 ht 随{ut}过去值的变 化而变化，在这种情况下，我们称{ut}服从具有线性参数形式的 q 阶自回归条件异 方差模型. 在实际应用中，为了简化描述{ }t u 的自回归条件异方差特征，可以对{ }t u 施加 一些假定，设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定： ut ht t = e (8.1.5) 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a +a - +L +a - ~ iidN(0,1) t e 显然， ( ) ( ) ( ) 0 E ut Wt-1 = E ht e t Wt-1 = ht E et Wt-1 = Var ut Wt- = E ut Wt- = E ht t Wt- = htE t Wt- = ht ( ) ( ) [( ) ] ( )1 2 1 2 1 2 1 e e 即 ~ (0 , ) ut Wt-1 N ht ，从而{ }t u 服从自回归条件异方差（ARCH（q））模型。 在 Engle（1982）所建议的各种条件异方差模型中，最简单的一种是如下 ARCH （1）： 2 ut = t a0 +a1ut-1 e (8.1.6) 其中{ }t e 是方差为 2 se =1 的正态白噪声过程， t e 与 t-1 u 相互独立，a0和a1为常数且满 足条件a0 >0 和 0<a1 <1。 2、ARCH 模型的性质 下面我们以(8.1.6)式所描述的 ARCH（1）模型为例，考察 ARCH 序列{ut }的性 质。由于 t e 是白噪声且与ut-1相互独立，易证{ut }的每一项的均值为零且彼此间互不 相关。而且， { } { } 0 2 0 1 1 2 Eut = E e t a0 +a1 ut-1 = Ee tE a +a ut- = (8.1.7) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
EM2=E{E2(x0+a1u21)}=EE2E{0+a121}=a0(1-a1) (8.1.8) 所以,{,}的无条件均值和方差不会受}的生成过程的影响。类似地,容易推出{} 的条件均值也为零。即 e(u )=E{E1 l21}=EE,E{ (8.1.9) 此时,读者可能会认为,由于{u}的均值为零、方差为常数,从而ln}的矩性 质不受如}的生成过程的影响。事实上,{x1}的生成过程的影响全部反映在条件方 差上。由于2=1,u1基于其过去值u1,u12…的条件方差为 E(21-,12,…)=a0+a1u2 (8.1.10) 即u,的条件方差依赖于v2的实现值。如果u21的实现值大(或小),则在t时期v,的 条件方差也就大(或小) 下面我们讨论,误差项u,的ARCH结构如何影响序列{}的变异特征。事实上, x}的条件异方差使得{y}成为一个ARCH过程。所以,利用ARCH模型能够区分并 反映序列{v,}的各个平缓期和易变期。详细分析如下: 假定序列{υ}服从模型(8.1.1)的一种特殊情形: V, =ao +av-+u 误差项u1服从形如模型(8.1.6)的ARCH(1)。则y,的条件均值和条件方差分别由 下面两式给出: E,-1(y1)=ao+a1y1 H(p,2…)=Ely ao -aly (8.1.11) E1(u2)=a0+a1(u1)2 此式表明,y,的条件方差与u,的条件方差(8.1.10)一致。n}的条件异方差使得 成为一个ARCH过程 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
4 { ( )} { } 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 Eut = E t + ut- = E t E a +a ute a a e /(1 ) = a0 -a1 (8.1.8) 所以，{ut }的无条件均值和方差不会受{ut }的生成过程的影响。类似地，容易推出{ut } 的条件均值也为零。即： ( , , ) { } { } 0 2 0 1 1 2 E ut ut-1 ut-2 L = E e t a0 +a1ut-1 = Ee t E a +a ut- = (8.1.9) 此时，读者可能会认为，由于{ut}的均值为零、方差为常数，从而{ut}的矩性 质不受{ut}的生成过程的影响。事实上，{ut}的生成过程的影响全部反映在条件方 差上。由于 2 se =1，ut基于其过去值ut-1，ut-2 L的条件方差为： 2 1 2 0 1 1 2 ( , , ) E ut ut- ut- L = a +a ut- (8.1.10) 即ut的条件方差依赖于 2 ut-1的实现值。如果 2 ut-1的实现值大（或小），则在 t 时期ut的 条件方差也就大（或小）。 下面我们讨论，误差项 t u 的 ARCH 结构如何影响序列{yt}的变异特征。事实上， {ut}的条件异方差使得{yt}成为一个 ARCH 过程。所以，利用 ARCH 模型能够区分并 反映序列{yt }的各个平缓期和易变期。详细分析如下： 假定序列{yt }服从模型(8.1.1)的一种特殊情形： t t ut y = a0 + a1 y -1 + 误差项 t u 服从形如模型(8.1.6)的 ARCH（1）。则 t y 的条件均值和条件方差分别由 下面两式给出： 1 0 1 1 ( ) t- t = + t- E y a a y [( ) ] 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 ( ) ( ) ( , , ) - - - - - - = = + = - - t t t t t t t t t E u u Var y y y E y a a y a a L (8.1.11) 此式表明， t y 的条件方差与ut的条件方差(8.1.10)一致。{ut }的条件异方差使得{yt } 成为一个 ARCH 过程。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
υ,的无条件均值和无条件方差可以通过求解y的差分方程并取期望得到 如果过程开始于过去足够远的时期,则y的解为 (1-a)+∑a 由于El=0对于所有t成立,所以y的无条件期望等于Ey=a01(1-a1) 无条件方差可以类似得到。在给定EML=0(对所有i≠0)的条件下,y,的 无条件方差为: pa(y)=∑avar(u1-) 由于的无条件方差为常值(lamr(x,)=lan(u1-)=lar(u1-2)=…=an/1-a1)),从而有: lar(y,)=[a0(1-a1)1/1-a2) (8.1.12) 比较序列v}的无条件方差(8.1.12)和条件方差(8.1.11)可以看出,{}的无条件 方差为一常数,而条件方差会随着u1的变化而变化,当上一期振动幅度较大时, 序列在本期也会有较大的振动。这种反映外部冲击持续影响的特性,可以恰当地 刻画出序列{υn}的变异聚类特征 第二节ARCH模型的估计 估计ARH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型 y=X,5 (8.1.4) idN(0,1) 假设前q组观测值已知,现利用t=1,2,…,T时的观测值进行估计。记 M12X1…,X1,X Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
5 t y 的无条件均值和无条件方差可以通过求解 t y 的差分方程并取期望得到。 如果过程开始于过去足够远的时期，则 t y 的解为： å ¥ = = - + - 0 0 1 1 /(1 ) i t i i t y a a a u 由于 = 0 Eut 对于所有 t 成立，所以 t y 的无条件期望等于 /(1 ) 0 1 Ey a a t = - 。 无条件方差可以类似得到。在给定 = 0 t t-i Eu u （对所有i ¹ 0 ）的条件下， t y 的 无条件方差为： å ¥ = = - 0 2 1 ( ) var( ) i t i i t Var y a u 由于ut的无条件方差为常值（ ( ) ( ) ( ) /(1 ) Var ut = Var ut-1 = Var ut-2 = L = a0 -a1 ），从而有： ( ) [ /(1 )][1/(1 )] 2 0 1 a1 Var yt = a -a - (8.1.12) 比较序列{yt}的无条件方差(8.1.12)和条件方差(8.1.11)可以看出，{yt}的无条件 方差为一常数，而条件方差会随着 t-1 u 的变化而变化，当上一期振动幅度较大时， 序列在本期也会有较大的振动。这种反映外部冲击持续影响的特性，可以恰当地 刻画出序列{yt }的变异聚类特征。 第二节 ARCH 模型的估计 估计 ARCH 模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型 t Xt ut y = x + ' (8.1.1) ut ht t = e (8.1.4) 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a + a - + L + a - ~ iidN(0,1) t e 假设前 q 组观测值已知，现利用 t=1，2，…，T 时的观测值进行估计。记 [ ] 1 1 0 1 1 1 0 1 , , , , , , , , , , , , , - - + - - + W = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ t t t q X t Xt X X X q y y L y y L y L L PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com