图2.3.2(累积)分布函数 例231.求数k使得对于正态分布的变量有P(-ko<x<H+ko)=0.95 解:令F为正态分布N(,02)的分布函数,则有 P(-ka<x<+ka)=F(+ko)-F(-ka)=更(k)-更(-k)=0.95.(23.4) 从关系式亚(-k)=1-重(k),我们得2(k)-1=0.95.所以重(k)=0.975.查正态分布表, 得k §232指数分布 若随机变量X具有概率密度函数 >0, f(a ≤0, 其中入>0为常数,则称X服从参数为A的指数分布 指数分布的分布函数为 .Ar r F() (23.6 <0
ã 2.3.2 (\È)©Ù¼ê F(x) 1.0 0 x ~ 2.3.1. ¦êk¦éu©ÙCþkP(µ − kσ < x < µ + kσ) = 0.95. ): -F©ÙN(µ, σ2 )©Ù¼ê, Kk P(µ − kσ < x < µ + kσ) = F(µ + kσ) − F(µ − kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 0.95. (2.3.4) l'Xª Φ(−k) = 1 − Φ(k), · 2Φ(k) − 1 = 0.95. ¤±Φ(k) = 0.975. ©ÙL, k = 1.96. §2.3.2 ê©Ù eÅCþXäkVÇݼê f(x) = ( λe−λx x > 0, 0 x ≤ 0, (2.3.5) Ù¥λ > 0~ê, K¡XÑlëêλê©Ù. ê©Ù©Ù¼ê F(x) = ( 1 − e −λx x > 0, 0 x ≤ 0. (2.3.6) 22
图23.3正态分布的密度函数 mu1, sigma=1 从图(2.3.5)可以看出,参数入愈大,密度函数下降得愈快 指数分布经常用于作为各种”寿命”的分布的近似.令X表示某元件的寿命.我们引 进X的失效率函数如下 h(a)= lim P(x≤X≤+△|X 失效率表示了元件在时刻尚能正常工作,在时刻x以后,单位时间内发生失效的概率.则 如果 h(x)≡A(常数),0<x<+∞, X服从指数分布.即指数分布描述了无老化时的寿命分布 指数分布的最重要的特点是“无记忆性”.即若X服从指数分布,则对任意的 st> P(X>8+tx>s=P(X>t) 237) 即寿命是无老化的.可以证明,指数分布是唯一具有性质(2.37)的连续型分布
ã 2.3.3 ©Ùݼê −5 0 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x) mu=−2,sigma=2 mu=1,sigma=1 mu=4,sigma=1.5 lã(2.3.5)±wÑ, ëêλ, ݼêeü¯. ê©Ù²~^u«”Æ·”©ÙCq. -XL«,Æ·. ·Ú ?XǼêXe: h(x) = lim ∆x→0 P(x ≤ X ≤ x + ∆x|X > x) ∆x . ÇL« 3xÿU~ó, 3x±, ü mSu)VÇ. K XJ h(x) ≡ λ (~ê), 0 < x < +∞, XÑlê©Ù. =ê©Ù£ã ÃPzÆ·©Ù. ê©ÙA:´“ÃPÁ5”. =eXÑlê©Ù§Ké?¿s, t > 0k P(X > s + t | X > s) = P(X > t). (2.3.7) =Æ·´ÃPz. ±y², ê©Ù´äk5(2.3.7)ëY.©Ù. 23
图234指数分布的密度函数 lambda=3 §233均匀分布 设a<b,如果分布F(x)具有密度函数 a<x<b f(a) 其它 则称该分布为区间ab上的均匀分布,记作Ua,b如此定义的f(x)显然是一个概率密度 函数.容易算出其相应的分布函数为 0, ≤a, F(a 在计算时因四舍五入而产生的误差可以用均匀分布来描述 §24多维分布 在实际应用中,经常需要对所考虑的问题用多个变量来描述.我们把多个随机变量 放在一起组成向量,称为多维随机变量或者随机向量
ã 2.3.4 ê©Ùݼê 0 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f(x) lambda=0.5 lambda=1 lambda=3 §2.3.3 þ!©Ù a < b§XJ©ÙF(x)äkݼê f(x) = ( 1 b−a a ≤ x ≤ b , 0 Ù§, (2.3.8) K¡T©Ù«m[a, b]þþ!©Ù,PU[a, b]. Xd½Âf(x)w,´VÇÝ ¼ê. N´ÑÙA©Ù¼ê F(x) = 0, x ≤ a, x−a b−a , a < x ≤ b, 1, x > b. 3OÏoÊ\ )Ø ±^þ!©Ù5£ã. §2.4 õ©Ù 3¢SA^¥§²~Ié¤Ä¯K^õCþ5£ã. ·rõÅCþ 3å|¤þ§¡õÅCþ½öÅþ. 24
例2.41.从一付扑克牌中抽牌时,可以用纸牌的花色和数字来说明其特征 例24.2.考虑一个打靶的试验.在靶面上取定一个直角坐标系则命中的位置可由其坐 标(X,Y)来刻划X,Y都是随机变量 定义2.4,1,设X=(Ⅺ1,…,Xn).如果每个X都是一个随机变量,i=1,…,n,则 称X为n维随机变量或者随机向量 我们可以按照对常用一维随机变量的分类把常用的随机向量分为离散型和连续型 的 定义2.4.2.如果每一个X都是一个离散型随机变量,i=1,…,m,则称X=(X1,,Xn)为 一n维离散随机变量.设X的所有可能取值为{an,a12,…},i=1,…,m,则称 p(i1,……,in)=P(X1=a1 Xn=anin), j1,.,]n= 1, 2, (24.1) 为η维随机变量X的概率函数 容易证明概率函数具有下列性质 (1)p(1,…,in)≥0,j=1,2, 我们具体来看一下二维离散分布设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值 为{(x2,y):i=1,…,n,=1,2,…,m}.我们经常以列联表的形式来表示二维离散型随 机变量的概率分布.记 Pij=P(X=ai,Y=yi), 则(X,Y)的概率函数可以下表表示
~ 2.4.1. lGÀý¥Äý, ±^ýsÚÚêi5`²ÙA. ~ 2.4.2. ÄqÁ. 3q¡þ½IX. K·¥ dÙ I(X, Y )5y. X,Y Ñ´ÅCþ. ½Â 2.4.1. X = (X1, . . . , Xn). XJzXiÑ´ÅCþ§i = 1, · · · , n§K ¡XnÅCþ½öÅþ. ·±Uìé~^ÅCþ©ar~^Åþ©lÑ.ÚëY. . ½Â 2.4.2. XJzXiÑ´lÑ.ÅCþ§i = 1, ..., n§K¡X = (X1, . . . , Xn) nlÑÅCþ. Xi¤kU{ai1, ai2, · · · }, i = 1, . . . , n, K¡ p(j1, · · · , jn) = P(X1 = a1j1 , . . . , Xn = anjn ), j1, ..., jn = 1, 2, ... (2.4.1) nÅCþXVǼê. N´y²VǼêäke5: (1) p(j1, . . . , jn) ≥ 0, ji = 1, 2, · · · , i = 1, 2, . . . , n; (2) P j1,··· ,jn p(j1, . . . , jn) = 1. ·äN5welÑ©Ù. lÑ.ÅCþ(X, Y )¤kU {(xi , yj ) : i = 1, ..., n, j = 1, 2, ..., m}. ·²~±éL/ª5L«lÑ. ÅCþVÇ©Ù. P pij = P(X = xi , Y = yj ), i = 1, ..., n, j = 1, ..., m. K(X, Y )VǼê±eLL«: 25
xn行和 p11p21 Pnp. Pn2 p 列和m1.m2…pn1 例24.3.从一个包含五个黑球,六个白球和七个红球的罐子里抽取四个球.令X是抽到 白球的数目,Y是抽到红球的数目.则二维随机变量(X,Y)的概率函数为 n0=((=2 0≤x+y≤4 以列联表表示,即为 234行和 1 17丽 7777 3 列和舒是奇而1 类似于一维连续型随机变量,连续型随机向量的也是由密度函数来刻画的. 定义2.41.3.称X=(K1,…,Xn)为n维连续型随机变量,如果存在R上的非负函数f(x1, xn),使得对任意的-∞<a1≤b1<+∞,…,-∞<an≤bn<+∞,有 P(a1≤X1≤b1,…,an≤Xn≤bn)= rn)dr1…d 则称∫为X的概率密度函数 对n维随机变量我们也有分布函数的概念
❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X x1 x2 · · · xn 1Ú y1 p11 p21 · · · pn1 p·1 y2 p12 p22 · · · pn2 p·2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym p1m p2m . . . pnm p·m Ú p1· p2· · · · pn· 1 ~ 2.4.3. l¹Êç¥, 8x¥ÚÔù¥-fpÄo¥. -X´Ä x¥ê8, Y ´Äù¥ê8. KÅCþ(X, Y )VǼê p(x, y) = 6 x 7 y 5 4−x−y 18 4 , 0 ≤ x + y ≤ 4. (2.4.2) ±éLL«, = ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X 0 1 2 3 4 1Ú 0 1 612 1 51 5 102 5 153 1 204 11 102 1 7 306 7 51 35 204 7 153 77 204 2 7 102 7 34 7 68 7 17 3 35 612 7 102 77 612 4 7 612 7 612 Ú 99 612 22 51 11 34 4 51 1 204 1 aquëY.ÅCþ, ëY.Åþ´dݼê5x. ½Â 2.4.3. ¡X = (X1, . . . , Xn)nëY.ÅCþ§XJ3R nþK¼êf(x1, . . ., xn)§¦é?¿−∞ < a1 ≤ b1 < +∞, ..., −∞ < an ≤ bn < +∞, k P(a1 ≤ X1 ≤ b1, ..., an ≤ Xn ≤ bn) = ˆ bn an ... ˆ b1 a1 f(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn, (2.4.3) K¡fXVÇݼê. énÅCþ·k©Ù¼êVg. 26