《高等数学》下册教案 第十章重积分 -R≤xSR 0≤y≤R 2)Dx: 0≤y≤VR2-x D:R-ysys-yi 3)Dx: 「0sys1 及0≤，2-：D:{55x2-y 2、在直角坐标系下二重积分的计算 例1、计算曲顶柱体的体积V=川nfx,y)do,f(x,)20。 解：设曲顶柱体的底为x0y平面上的区域D,顶为曲面z=f(x,)20:设区城D为X型区域 且D: 「a≤x≤b (9)≤y≤g,(x) x,∈[a,,过x点作垂直于x轴的平面 平面与曲顶柱体有一截面，设数面面积为A(x), 则4，)为：40)=∫6： y=g(x) 由x∈[a,的任意性，有x∈[a,创，我面面积为：Ax)=∫%fx,)d 根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为 vds 从而，川。f化，dg=业=红)本二次积分（累次积分） 注：①对于一般的二重积分川nfx,y)do,若其积分区城D为X型区城，即D: ass只.剥也有：fdo=fdh: [asx≤b 为了书写方便，二次积分常写为： 。f,do=jmfd=fx4 csysd ②同理，若积分区装D为y型区城，即D:{05:,的则有 dadyds ③如果积分区城不是简单区域，则应当适当划分为简单区城再逐个积分。 共29页一第5页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 例2、计算二重积分川。3do,其中积分区城D为矩形：≤x≤h (csysd' 解：根据上面的讨论，视D为X型区摄，D:a≤x≤B lesysd”则 ∬ndo∫d=)d2-cd=子62-ad-c=jw 特例：若积分区城D为矩形区城D:口5x5办.被积禹教恰好可以写为，)=不W6。 lc≤ysd' 则∬。0do=fx∫0。 例3、计算积分川3x2ydo,其中D由曲线x=y2-1与x-y=1围成。 y+1 解：1视D为y型域，则D:-13xSy+1 ∫-1≤y≤2 2 ∬n3xdo=」时3x=∫3x =∫yx本=∫0+-02-y -io4r-o4hG2-d02-0 =0+-0w呢其cr-呢-9 2视D为X型城，则D: 15x0及{0x3 -x+l≤y≤+1x-1≤x≤Vx+ 川3xdo=小3do+。3xdo=j3x+3xd -3rw+3xw-3rr 引x1--达-器 例4、计算积分川nxV2+ydG,D由y=a-x2与y=0围成。 -a≤x≤a a 共29页一第6页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 。xVR+rdo=FxP+y= 0≤x≤a :{--55-可.则 儿F+o广F+F-a-0 例5、计算积分川neda,D由x=2、y=x及x轴国成 所DxD:852为 edoe-ieai-ieie-f生 多D有r线n: 川nedc=eh此积分无法用牛顿莱布尼滋公式计算 注：以上例题表明，在直角坐标系下计算二重积分时，应注意积分顺序的选择，二重积分计 算的关键是转化为二次积分。 例6、将二重积分1=川。f化，y)o化为直角坐标系下的两种不同顺序的二次积分，其中D由 直线y=x、y=2x及y=2图成。 2 2 所a::{a品4 x≤ys2' 1=f,1=∫f+fx 例7改变二次积分1=层k,达的积分顺序。 解：由条件可得：D: 少≤r≤学，则积分区战为： 0≤y≤4 4信eh=cocg =f+fx, 共29页-第7页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 例8、计算由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0以及抛物面x2+y2=6- 截得的立体的体权。 解：此立体为以D(由x=0,y=0,x+y=1围成)为底，以曲面 之6-x2-y z=6-x2-y2为顶的曲顶柱体，则 r=川6-2-yda=6o-j6。x2+yd x+y=1 =6号e0-+0-h=3-兮名 练习 1、将下面的二重积分∬nfx,y)do化为二次积分（两种顺序都要），其中积分区城D:①由 x+y=1、x=1及y=1国成：②由x=√R2-尸与y轴为成。 解：①。f(x.yda=∫fxd=jfc,d ②，在a小广-可fh 2、文换积分顺序：，k。 解：小Ff,t=f+。Ffx,t 3、计算积分川。+少-a,其中D由直线y=x、y=及x=2国成。 解：∬。r2+y2-do=∫x+y- +r贤r 192432313 244836 二、在极坐标系下二重积分的计算 1、极坐标系下的二重积分 (r,) 极坐标系下的坐标为：(，)，与直角坐标的关系 r. =rm日0s052:极坐标系下的坐标南线： 〔x=rcos0 0 共29页一第8页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 r=常数“以原点为中心的圆孤；日=常数一从原点发出的半射线 谈=重积分存在，则。x6=-之低，na: 用极坐标系中的曲线网分割区域D时，除去边沿部分外，均有： ag+ara0-a0 =2rw+(P1A0=22斯+1A0=2+G+1AA0=·wA0 考虑圆孤r=斤上的一点(G,0),取5=rcos6,n,=rsin瓦，则 ∬nfx,dg=m2f传，n)Aa,=m∑f5,mAa+∑fG,n)Aai =m∑可，7sm0raA0=(rcos0.rsin9dhd0 jj。fx,yda=J∬cos0,snd0 注：二重积分的面积微元do在极坐标系下为：do=rddB: 2、极坐标系下的简单区域 半射线日=日，与区域D边界曲线的交点不超过两个，则D为极坐标系下的简单区域。 「a≤0≤B 1)D: g(msrsp,(O则 ,fteasarsn0rti0-ajwesrsnt j∬f(co8,rsin8)rdd0=∫dog”f(rcos8,rsin8t ∫0≤0≤2m 3D:osrs 则 rsinOrdrdodosinrd -≤日≤& 4D:0≤rs9' 则 ∬nf0cos0,rsin0rdd0=∫dof(os0,rsin0)rh 共29页一第9页 果水安