是R+的一个基，但不是规范正交基：
1 2 3 4 1 1 1 1 0 1 1 1 , 0 0 1 1 0 0 0 1 e e e e = = = = (3) 是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
设ei,e2，…e,是向量空间V中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=e+e+..+a,e,[x,e,][x,e,]于是i=1,2,..,r2[er,e,l le, I1?特别地，若ej,e2……，e,是V的一个规范正交基，则a, =[x,e,l, i=1,2,.,r问题：向量空间V中的一个基a1,a2,……，a,最向量空间V中的一个规范正交基ei,e2,，e
设 e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + .+ lrer 于是 特别地，若 e1 , e2 , ., er 是V 的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1 , a2 , ., ar 最 向量空间 V 中的一个规范正交基 e1 , e2 , ., er 2 [ , ] [ , ], 1,2, , [ , ] || || i i i i i i x e x e i r e e e l = = = [ , ], 1,2, , i i l = = x e i r
求规范正交基的方法基正交基规范正交基第一步：正交化一施密特（Schimidt）正交化过程设ai,a2,…a,是向量空间V中的一个基，那么令b, =ab3[b,a,]aDb, =az-c, =az[b,b,]b,=a,-cC3231C3Ca2a
求规范正交基的方法 第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1 , a2 , ., ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 1 1 b a = a1 b1 a2 a3 c2 b2 c3 c31 c32 b3 1 2 2 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a c a b b b = − = − 3 3 3 3 31 32 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] b a c a c c b a b a a b b b b b b = − = − − = − − 基 正交基 规范正交基
第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设ay,z…，a,是向量空间V中的一个基，那么令b, =a,[bi,a,]b,=az-c,=az[bi,b,]b,=a,b,于是bi,bz.……,b,两两正交，并且与a,a2,…,a,等价，即bi,b2,，b,是向量空间V中的一个正交基特别地，b.....b与a...a,等价（1≤k≤r）
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1 , a2 , ., ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 于是 b1 , b2 , ., br 两两正交，并且与a1 , a2 , ., ar 等价，即 b1 , b2 , ., br 是向量空间 V 中的一个正交基． 特别地，b1 , ., bk 与a1 , ., ak 等价（1 ≤ k ≤ r）． 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r b a b a b a b b b b b a b b b b b − − − − = − − − − 1 1 b a = 1 2 2 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a c a b b b = − = −
第二步：单位化设bi,b2，…，b,是向量空间V中的一个正交基，那么令Tb.因为[病[6,]些胞[e,e]Ib. Ile, II= e,el=1从而ei,e2,…，e,是向量空间V中的一个规范正交基
第二步：单位化 设 b1 , b2 , ., br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个规范正交基． 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , || || || || || || r r r e b e b e b b b b = = = 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 || || [ , ] , , 1 || || || || || || || || b e e b b b b b b b b = = = = 1 1 1 || || [ , ] 1 e e e = =