《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型

(1)(-1A例：设a,=2,a2=3，试用施密特正交化，a=-1(-1)0过程把这组向量规范正交化解：第一步正交化，取b, =aj一[b,a,]3b, =az[b,b,][bi,as][b2,a]G-0-b,=a3[b,b.][b2,b,]

例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化． 解：第一步正交化，取 1 2 3 1 1 4 2 , 3 , 1 1 1 0 a a a       −       = = = −                   − 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 1 1 1 [ , ] 4 5 3 2 1 [ , ] 6 3 1 1 1 4 1 1 1 [ , ] [ , ] 1 5 1 2 1 2 0 [ , ] [ , ] 3 3 0 1 1 1 b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b =       − −       = − = − =                   −         −         = − − = − − + =                         −

1-1例:设a,=，试用施密特正交化23,az=a(-1)10过程把这组向量规范正交化。解：第二步单位化，令

例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化． 解：第二步单位化，令 1 2 3 1 1 4 2 , 3 , 1 1 1 0 a a a       −       = = = −                   − 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 || || 6 1 1 1 1 1 || || 3 1 1 1 1 0 || || 2 1 e b b e b b e b b     = =       −   −   = =           = =      

例：已知a,=，试求非零向量2,，使,2,s两两正交1解：若aaz，aa，则[ai, a2] = aiT az=Xi + X2 + xg = 0[ai, as] = aT a=xi + x +xs = 0即aas应满足方程x++=0012基础解系为 =05, =-1)(-1把基础解系正交化即为所求（以保证azas成立）

例：已知 ，试求非零向量a2 , a3 ，使a1 , a2 , a3 两两正交. 解：若a1⊥a2 ， a1⊥a3 ，则 [a1 , a2 ] = a1 T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 [a1 , a3 ] = a1 T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2 , a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 ． 基础解系为 把基础解系正交化即为所求． 1 1 1 1 a     =       1 2 1 0 0 , 1 1 1           = =             − − 2 3 1 1 1 0 , 2 2 1 1 a a     −     = =             − − （以保证 a2⊥a3 成立）

定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A-1=AT则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵ATA=1i=j于是(i, j=1,2,.",n)itj0从而可得方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交·即A的列向量组构成R"的规范正交基

定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵． 即 A−1 = AT ， 于是 从而可得 ◼ 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交． 1, [ , ] ( , 1,2, , ) 0, T i j i j i j a a a a i j n i j  = = = =    即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基． ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 T T T T n T T T T T n n T T T T n n n n n a a a a a a a a a a a a a a A A a a a a a a a a a a                   = = =                  

定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A-1=AT则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，直两两正交：即A的列向量组构成R"的规范正交基因为ATA=E与AAT=E等价，所以AATl，i=j[b,b,1=b;b,(i, j=1,2,..,n)0.i#

定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT ， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵． ◼ 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基. 因为ATA = E 与AAT = E 等价，所以 1, [ , ] ( , 1,2, , ) 0, T i j i j i j b b b b i j n i j  = = = =    ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 T T T T n T T T T T n n T T T T n n n n n b b b b b b b b b b b b b b AA b b b b b b b b b b                   = = =                  