1例：已知3维向量空间R3中两个向量a=-211正交，试求一个非零向量a3，使ai,a2,s两两正交，分析：显然a上az·解：设a=(x,x,x)，若aiaaza，则[a,ag]=aiTag=xi +X2+x=0[a,ag]=a,Tag=xi-2x2+xg=0-2
例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1 , a2 , a3 两两正交． 分析：显然a1⊥a2 ． 解：设a3 = (x1 , x2 , x3 ) T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则 [a1 , a3 ] = a1 T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 [a2 , a3 ] = a2 T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0 1 2 1 1 1 , 2 1 1 a a = = − 1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x Ax x x = = −
-23[x, =-x3得[=0从而有基础解系0-
1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x Ax x x = = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ~ ~ ~ 1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 1 0 r r r − − 得 从而有基础解系 ，令 ． 1 3 2 0 x x x = − = 1 0 1 − 3 1 0 1 a − =
定义：n维向量ei,e2,…e,是向量空间VR"中的向量满足ei,e2，e,是向量空间V中的一个基（最大无关组）；ei,e2,……,e,两两正交；ei,e2,e,都是单位向量则称ej，e2……，e,是V的一个规范正交基(normalorthogonalbasis)01-例：e=0是R+的一个规范正交基
定义： n 维向量e1 , e2 , ., er 是向量空间 中的向量， 满足 ✓ e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； ✓ e1 , e2 , ., er 两两正交； ✓ e1 , e2 , ., er 都是单位向量， 则称 e1 , e2 , ., er 是V 的一个规范正交基(normal orthogonal basis)． 例： 是 R4 的一个规范正交基． n V R 1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 e e e e = = = =
定义：n维向量ei,e2,e,是向量空间VR"中的向量，满足(1)ei,e2，e,是向量空间V中的一个基（最大无关组）;(2)ei,e2,.….,e,两两正交;则称ei,e2，.…e,是V的一个正交基(orthogonalbasis)定义：n维向量e,e2,……e是向量空间VR"中正交基且ej,e2,…,e,都是单位向量，则称ei,e2,……e,是V的一个规范正交基（normalorthogonalbasis）
定义： n 维向量e1 , e2 , ., er 是向量空间 中的向量， 满足 (1)e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； (2)e1 , e2 , ., er 两两正交； 则称 e1 , e2 , ., er 是V 的一个正交基(orthogonal basis)． 定义： n 维向量e1 , e2 , ., er 是向量空间 中正交基， 且e1 , e2 , ., er 都是单位向量，则称 e1 , e2 , ., er 是V 的一个 规范正交基(normal orthogonal basis)． n V R n V R
01例: (1)0是R的一个规范正交基·（1/／2）(1/ /2)000-1/V21/ V2(2)1//21/ /2001/2(-1/V2也是R4的一个规范正交基
1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 e e e e = = = = 例：(1) 是 R4 的一个规范正交基． (2) 也是 R4 的一个规范正交基． 1 2 3 4 1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , , , 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 e e e e − = = = = −