回顾：线段的长度[x,x] =x2+x2 +... +x2≥0P(xj,x2)X2若令x=(,)，则1OP/= /x +x,0XiD若令x=(X1,X2,x3)T,则X31OP=x++0Xi
回顾：线段的长度 2 2 1 2 | | [ , ] OP x x x x = + = x1 x2 x1 x2 x3 P(x1 , x2 ) O P O 若令 x = (x1 , x2 ) T，则 222 1 2 3 | | [ , ] OP x x x x x = + + = 若令 x = (x1 , x2 , x3 ) T，则 [x, x] = x1 2 + x2 2 + . + xn 2 ≥ 0
向量的长度定义：令Vx,x]=yx+x+...+x?称x为n维向量x的长度（或范数）（length）当x=1时，称x为单位向量（unitvector）向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，ⅡxⅡ=0；当x0（零向量）时，Ⅱx>0.齐次性：x=x：[ax,ax]lx
2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] l l l l l l l x x x x x x x x === 向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）(length)． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量(unit vector)． 向量的长度具有下列性质： ◼ 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0． ◼ 齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ． 2 2 2 1 2 || || [ , ] 0 n x = = + + + x x x x x 2 || || [ , ] [ , ] | | [ , ] || | l l l l x x x x x x x x = = = = l | l | |
向量的长度x=x,x=/x+++x定义：令称x为n维向量x的长度（或范数）当x=1时，称x为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，ⅡxⅡ=0当x0（零向量）时，ⅡxⅡ>0.齐次性：x=-xx+y三角不等式x+y≤x+yX
向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： ◼ 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0． ◼ 齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||． ◼ 三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||． 2 2 2 1 2 | | | | [ , ] n x = = + + + x x x x x x y x + y y
向量的正交（orthogonal）性施瓦兹（Schwarz）不等式[x, y≤[x, x] [y, y][x,y]≤1当x+0且y+0时，x·llym定义当x≠0且y+0时，把[x,J]θ=arccosIIxI.Il yI称为n维向量x和y的夹角（angle）当x=0，称向量x和正交V0结论：若x=0，则x与任何向量都正交x
向量的正交(orthogonal)性 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y] 2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y || 当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时， 定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角(angle)． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． [ , ] arccos || || || || x y x y = [ , ] 1 || || || || x y x y x y
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组定理：若n维向量a1,a2…,a,是一组两两正交的非零向量，则ai,a2,….,a,线性无关.证明：设kai+kaz+.+ka,=0（零向量），那么0 =[ai, 0] =[ai, kja,+kza, +... +k,a,]=k[a,ail+kz[ai,al +...+k,[ai,a,]= k, [ar, al+0 + ... + 0= k lail/2从而ki=0.同理可证，kz=ks=.=k,=0.综上所述，ai,a2,…,a,线性无关
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组． 定理：若 n 维向量a1 , a2 , ., ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1 , a2 , ., ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + . + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1 , 0] = [a1 , k1a1 + k2a2 + . + kr ar ] = k1 [a1 , a1 ] + k2 [a1 , a2 ] + . + kr [a1 , ar ] = k1 [a1 , a1 ] + 0 + . + 0 = k1 ||a1 ||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = . = kr =0． 综上所述， a1 , a2 , ., ar 线性无关．