第二十二章各种积分间的联系与场论初步 §1各种积分间的联系 1.应用格林公式计算下列积分: (1)91xy2dy-2yd,其中L为椭圆+=1,取正向 (2)(x+y)d dy,L同(1 (3)1(x+y)2dx-(x2+y2)dy,L是顶点为A(1,1),B(3,2),C(2,5)的三 角形的边界,取正向; (4)1(x2+y3)dx-(x3-y2)dy,L为x2+y2=1,取正向; (5) ey sin zda+e- sin ydy,L为矩形a≤r≤b,c≤y≤d的边界,取 正向 (6)fLey[ysinry+cos(a +y)dx+(r sin ry +cos(a+y))dy), t L 是任意逐段光滑闭曲线 2.利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积: (1)双纽线r2 (2)笛卡儿叶形线x3+y3=3ay(a>0); t)sint, t cos t,0<t≤2 3.利用高斯公式求下列积分: (1)J2x2ydz+y2ddx+2dxdy,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 (b)S为锥面x2+y2=2(0≤z≤h),下侧
第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 §1 各种积分间的联系 1. 应用格林公式计算下列积分： (1) H L xy2dy − x 2 ydx，其中L 为椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1，取正向； (2) H L (x + y)dx + (x − y)dy，L 同(1)； (3) H L (x + y) 2dx − (x 2 + y 2 )dy，L 是顶点为A(1, 1), B(3, 2), C(2, 5)的三 角形的边界，取正向； (4) H L (x 2 + y 3 )dx − (x 3 − y 2 )dy，L 为x 2 + y 2 = 1，取正向； (5) H L e y sin xdx + e −x sin ydy，L 为矩形a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d的边界，取 正向； (6) H L e xy [(y sin xy + cos (x + y)) dx + (x sin xy + cos (x + y)) dy]， 其 中L 是任意逐段光滑闭曲线． 2. 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： (1) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ； (2) 笛卡儿叶形线x 3 + y 3 = 3axy(a > 0)； (3) x = a(1 + cos2 t) sin t, y = a sin2 t cost, 0 ≤ t ≤ 2π. 3. 利用高斯公式求下列积分： (1) RR S x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy，其中 (a) S为立方体0 ≤ x, y, z ≤ a的边界曲面外侧； (b) S 为锥面x 2 + y 2 = z 2 (0 ≤ z ≤ h)，下侧． 1
(2)J3yd2+y3ldx+23 drdy,其中S是单位球面的外侧; (3)设S是上半球面z=√a2-2-y2的上侧,求 (a)adydz+ydzdr+zdcdy (b)rz2dydz+(a2y-22)dxdx+(2.cy+y22)dcdy (4)(x-y2+2)dyd+(-2+x2)d+(2-x2+y2)drdy,S是(x (y-b)2+(2-c2=R2的外侧 4.用斯托克斯公式计算下列积分: (1)fLoyd.x+dy 其中 (a)L为圆周x2+y2=a2,z=0,方向是逆时针, (b)L为y2+x2=1,x=y所交的椭圆,从x轴正向看去,按逆时针方 向 (2)5(y-2)dx+(2-x)dy+(x-y)d,L是从(a,0,0)经(0,a.0) 至(0,0,a)回到(a,0,0)的三角形 (3)1(y2+2)dx+(x2+2)dg+(x2+y2)d,其中 (a)L为+y+z=1与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧 构成右手法则 b)L是曲线x2+y2+2=2Rx,x2+y2=2rx(0<r<R,z>0),它的 方向与所围曲面的上侧构成右手法则; (4)9ydx+2dy+d,L是x2+y2+2=a2,x+y+2=0,从x轴正 向看去圆周是逆时针方向
(2) RR S x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy，其中S 是单位球面的外侧； (3) 设S 是上半球面z = p a 2 − x 2 − y 2的上侧，求 (a) RR S xdydz + ydzdx + zdxdy， (b) RR S xz2dydz + ¡ x 2 y − z 2 ¢ dzdx + ¡ 2xy + y 2 z ¢ dxdy； (4) RR S ¡ x − y 2 + z 2 ¢ dydz + ¡ y − z 2 + x 2 ¢ dzdx + ¡ z − x 2 + y 2 ¢ dxdy，S是(x − a) 2+ (y − b) 2 + (z − c) 2 = R2的外侧． 4. 用斯托克斯公式计算下列积分： (1) H L x 2 y 3dx + dy + zdz，其中 (a) L 为圆周x 2 + y 2 = a 2 , z = 0，方向是逆时针， (b) L 为y 2 + z 2 = 1, x = y所交的椭圆，从x 轴正向看去，按逆时针方 向； (2) H L (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz，L 是 从(a, 0, 0) 经(0, a, 0) 至(0, 0, a) 回到(a, 0, 0)的三角形； (3) H L ¡ y 2 + z 2 ¢ dx + ¡ x 2 + z 2 ¢ dy + ¡ x 2 + y 2 ¢ dz，其中 (a) L 为x + y + z = 1与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧 构成右手法则， (b) L 是曲线x 2 + y 2 + z 2 = 2Rx, x2 + y 2 = 2rx(0 < r < R, z > 0)，它的 方向与所围曲面的上侧构成右手法则； (4) H L ydx + zdy + xdz，L 是x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x + y + z = 0，从x 轴正 向看去圆周是逆时针方向． 2
5.设L为平面上封闭曲线,1为平面上任意方向,证明 cos(n, )ds=0 其中n是L的外法线方向 6.设S是封闭曲面,1为任意固定方向,证明 cos(n, l )ds=0 7.求I=cos(n,x)+ycos(n,y)ds,L为包围有界区域D的光滑闭 曲线,n为L的外法向 证明高斯积分 cos(r, n) r 其中L是平面上一单连通区域a的边界,而r是L上一点到a外某一定点 的距离,n是L的外法线方向.又若r表示L上一点到a内某一定点的距 离,则这个积分之值等于2 9.计算高斯积分 cos(r. n ZS 其中S为简单封闭光滑曲面,n为曲面s上在点(5,n,()处的外法向,r (5-x)i+(-y)j+(-z)k,r=r.试对下列两种情形进行讨论 (1)曲面S包围的区域不含(x,y,2)点 (2)曲面S包围的区域含(x,y,2)点 10.求证: drdydz 1 2 cos(r, n)ds, 其中S是包围V的分片光滑封闭曲面,n为S的外法线方向.r (x,y,2),r=rl.分下列两种情形精心讨论 3
5. 设L 为平面上封闭曲线，l 为平面上任意方向，证明 I L cos (n,l) ds = 0 其中n 是L 的外法线方向． 6. 设S 是封闭曲面，l 为任意固定方向，证明 ZZ° S cos (n, l) dS = 0 7. 求I = H L [x cos (n, x) + y cos (n, y)]ds，L 为包围有界区域D 的光滑闭 曲线，n 为L 的外法向． 8．证明高斯积分 I L cos(r, n) r ds = 0, 其中L 是平面上一单连通区域σ 的边界，而r 是L 上一点到σ 外某一定点 的距离，n 是L 的外法线方向．又若r 表示L 上一点到σ 内某一定点的距 离，则这个积分之值等于2π. 9．计算高斯积分 ZZ S cos(r, n) r 2 dS, 其中S 为简单封闭光滑曲面，n 为曲面S 上在点(ξ, η, ζ) 处的外法向，r = (ξ − x)i + (η − y)j + (ζ − z)k, r = |r| ．试对下列两种情形进行讨论： (1) 曲面S 包围的区域不含(x, y, z) 点； (2) 曲面S 包围的区域含(x, y, z) 点． 10．求证： ZZZ V dxdydz r = 1 2 ZZ° S cos(r, n)dS, 其中S 是包围V 的分片光滑封闭曲面，n 为S 的外法线方向．r = (x, y, z), r = |r| . 分下列两种情形精心讨论： 3
(1)V中不含原点(0,0,0); (2)V中含原点(0,0,0)时,令 d dydz lim dxdydz E→0+ 其中v是以原点为心,以 varepsilon为半径的球 11.利用高斯公式变换以下积分: (1)∫∫ ruddy+ eded+ yzdydz; (2)Jca+物cs)+co),其中osa,cos,cos是曲面的外 法线方向余弦 12.设u(xr,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设 a2u a2 a. ay2 证明: (1)J△drdy=Jmds; (2)J△udd=J+物物)dm+vm (3)J(△-t△a)ddy=-41(vm-um)ds.其中σ为闭曲线所围的 平面区域,器,需为沿外法线的方向导数 13.设△=++票,S是V的边界曲面,证明 (1)m△ ud edda=m (2)Jm=m(m2+(物)2+()2+mu△ ld.cdydx.式中a在V及 其边界曲面S上有连续的二阶偏导数,为沿曲面S的外法线的方向导 数
(1) V 中不含原点(0, 0, 0)； (2) V 中含原点(0, 0, 0)时，令 ZZZ V dxdydz r = lim ε→0+ ZZZ V −Vε dxdydz r , 其中Vε 是以原点为心，以varepsilon 为半径的球． 11．利用高斯公式变换以下积分： (1) RR S xydxdy + xzdzdx + yzdydz; (2) RR S ( ∂u ∂x cos α + ∂u ∂y cos β + ∂u ∂z cos γ) ，其中cos α, cos β, cos γ 是曲面的外 法线方向余弦． 12．设u(x, y), v(x, y) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 ∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 证明： (1) RR S ∆udxdy = R l ∂u ∂n ds; (2) RR σ v∆udxdy = RR σ ( ∂u ∂x ∂v ∂x + ∂u ∂y ∂v ∂x)dxdy + H l v ∂u ∂n ; (3) RR σ (u∆v − v∆u)dxdy = − H l (v ∂u ∂n − u ∂v ∂n )ds．其中σ 为闭曲线l 所围的 平面区域，∂u ∂n , ∂v ∂n 为沿l 外法线的方向导数． 13．设∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 , S 是V 的边界曲面，证明： (1) RRR V ∆udxdydz = RR S ∂u ∂n； (2) RR S u ∂u ∂n = RRR V [(∂u ∂x) 2 + (∂u ∂y ) 2 + (∂u ∂z ) 2 ] + RRR V u∆udxdydz ．式中u 在V 及 其边界曲面S 上有连续的二阶偏导数，∂u ∂n 为沿曲面S 的外法线的方向导 数． 4
14.计算下列曲面积分 (1)m(2-y2)dyd2+(2-2)dzdx+2(y-)ddy,其中S是++三 1(z≥0)下侧 2)(x+cosy)dydz+(y+cosx)ddx+(z+cosx) drdy,S是立体的边 界面,而立体Ω由x+y+z=1和三坐标面围成; (3)∥F·ndS,其中F=x3i+y3+z3k,n是S的外法向,S为x2+y2+ 2=a2(2≥0)上侧 (4)0(+y)dyd2+(+232)dd+(+3y3)dndy,s是品++ 1(x≥0)后侧 15.证明由曲面S所包围的体积等于V=3( T coS a+ycos+ zcs7)dS,式中cosa,cos,cos,为曲面S的外法线的方向余弦 16.若L是平面 a cos a+ y cos B+ 2 COS-p=0上的闭曲线,它所包 围区域的面积为S,求 cos a cos B Cos?, 其中L依正向进行 17.设PQ,R有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面S,有 Prydz+ Qdzdr+ rdcdy=0,证明++器=0 18.设P(x,y),Q(x,y)在全平面上有连续偏导数,而且以任意 点(x0,90)为中心,以任意正数r为半径的上半圆l:x=xo+rcos v0+rsin(0≤≤r),恒有 /0)b+(0b=0
14．计算下列曲面积分： (1) RR S (x 2−y 2 )dydz+(y 2−z 2 )dzdx+2z(y−x)dxdy ，其中S 是x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 (z ≥ 0) 下侧； (2) RR S (x + cos y)dydz + (y + cos z)dzdx + (z + cos x)dxdy, S 是立体Ω 的边 界面，而立体Ω 由x + y + z = 1 和三坐标面围成； (3) RR S F ·ndS ，其中F = x 3 i + y 3 j + z 3k, n 是S 的外法向，S 为x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (z ≥ 0) 上侧； (4) RR S ( x 3 a 2 +yz)dydz + ( y 3 b 2 +z 3x 2 )dzdx+ ( z 3 c 2 +x 3 y 3 )dxdy, S 是x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 (x ≥ 0) 后侧． 15．证明由曲面S 所包围的体积等于V = 1 3 RR S (x cos α + y cos β + z cos γ)dS ，式中cos α, cos β, cos γ ，为曲面S 的外法线的方向余弦． 16．若L 是平面x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 上的闭曲线，它所包 围区域的面积为S ，求 I L ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dx dy dz cos α cos β cos γ x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 其中L 依正向进行． 17．设P, Q, R 有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面S ，有RR S P dydz + Qdzdx + Rdxdy = 0, 证明∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z = 0. 18． 设P(x, y), Q(x, y) 在 全 平 面 上 有 连 续 偏 导 数 ， 而 且 以 任 意 点(x0, y0) 为中心，以任意正数r 为半径的上半圆l : x = x0 + r cos θ, y = y0 + r sin θ (0 ≤ θ ≤ π) ，恒有 Z l P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, 5