定理2（第一充分条件） (1)如果x∈(x-6,x),有f(x)>0;而x∈(x,x+δ) 有f(x)<0,则f(x)在处取得极大值： (2)如果x∈(x-6,x0),有f(x)<0;而x∈(x,x+6) 有f'(x)>0,则f(x)在x处取得极小值. (3)如果当x∈(x-6,x0)及x∈(x,x,+6)时，f(x) 符号相同，则f(x)在x处无极值： (是极值点情形)
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)
Xo 0 (不是极值点情形) 求极值的步骤： (1)求导数f'(x); (2)求驻点，即方程f'(x)=0的根； (3)检查'(x)在驻点左右的正负号，判断极值点 (4)求极值
x yo x yo 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤 : (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形 )
例1求出函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值. 解f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x (-00,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+00) f'(x) + 0 0 + 极 f() 个 极大值 ↓ 个 极大值f(-1)=10, 极小值f(3)=-22
例 1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (− , − 1 ) − 1 ( − 1 , 3 ) 3 (3,+ ) f ( x ) f ( x ) + − + 0 0 极大值 极小值 极大值 f ( − 1 ) = 10 , 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3)