把以上二式分别代入(6)和(7)式就得 ∑x(<√kwg,x为原特征 现在来讨论x为非主非原特征的情形.设x÷>x*,由第一章 51性质11知 x,n=x*(n)x(n) 其中q2=q/q:,q由第一章(7)式确定.所以 M十N M+N ∑x(n)=∑x*(n)=∑xn)∑( 由此及(8)式就得 x(n)≤ 8q 其中v4(q2)表q2的不同的素因子的个数,当u1(q2)≥2时,显然 有 2≥2×3×5n)-2≥6×2n)- 所以 2nq2)≤ 2<2√q 由此及(9)式就得,当x为非主非原特征时(4)式成立,定理证 毕 §2.经典的特征和均值估计 定理2设an为任意复数,则对任意的整数M及N≥1,我 们有 ∑ax()≤頓q)(1+ T二M十1
证先假定N≤q,我们有 H-+N 2a,x()-2∑aan,∑xn)x(n 斯1=M+1n2=M+ M+N 中(q)∑|an|2 (11) 释≠M+1 这就证明了当N≤4时定理成立,当N>q时,我们可把特征和 x(n) 算=M+1 分为1+ 个长度不超过q的特征和之和再利用Sch warz 不等式:从(11)式立即推得(10)式,证毕 在进一步讨论经典的混合型连续的和离散的)特征和均值估 计之前,我们要证明二个属于 Gallagher的引理,由于有了这两 个引理,使得混合型均值估计和大筛法有了一个十分简单和巧妙 的形式与证明。首先,我们引进“生位组”的定义 定义1设8是任一大于零的正数,若实数列x;(0≤i≤) 满足条件 x。≤x1<∴<x1<x,min(x141-x≥B,(12) 则称数列x(0≤i≤受是一个8佳位组 引理1设(x)为区间[xa,x】上的复的连续可微函数,数 列x(0≤i≤骨是一个8佳位组则有 x)≤b11)x 2(1(x)2d f(x)14x)(13) 证令 48()、1(EO)40≤≤-1, x;≤t≤x E()= 0,其它 0≤i≤攵-1
这样就有 g,(x)(f(x*)|2)dx=g(x)(x)2 「rg 1 x计 x)/2 由于g,(x)≤1及x,+-x≥8,从上式即得 1(x+)2≤81x)x+21(+)f(4)dr 上式二边对i求和,并利用 Schwarz不等式就推得 x)≤d1y()a+21G)o If(x)idx If(*)1ds f(x)|24x 这就是(13)式,证毕 这引理给出了用函数本身及其导数的积分来估计离散和的 种方法,也是大筛法的基础. 引理2设为一可数的实数集合,c(a)为实变量a的复 值函数,且满足条件 ∑|c(a)|<+∞ 再设 S() (ae(a 则有 s()d≤x72|Cn(x)x,T>0,(15) 其中 C(x)
证令 5 Fr(a) (16) T, xi 则有 Cr(=) c((r-a) 2T Cr(x)的 Fourier变换为1 Cr(xe(xrd c(al FCx-ae(redr c(c(a ) x e(xt)at 2T 4Es S()Ay(), 其中Ax()为Fx(x)的 Fourier变换:由(16)式可求得 sin F() 2T 2T 所以当|≤T时有 R1()≥ 应用熟知的 Fourier变换理论的 Plancherel定理,并利用(17), (18)式可推得 IC(x)12dx c1()|2r S(F(2dr 1)不难验证,积分」cr(+)(4)dx绝对收敏,以及(7)中的积分号与求和号是 可以交换的
:…一 S(2)2x(x)a Is(2: 2it 由此即得(15式,证毕 引理2使得形如(14)式的广义三角和的模的平方积分可以利 用它的系数来估计,这是混合型均值估计的基础.把定理2与这 2个引理结合起来,就可证明关于经典的混合型特征和均值估计 的三个定理 设有限 Dirichlet级数 其中M≥0及N≥1为整数,x为模q的特征,s〓σ+计.不 难看出,它是形如(14)式的广义三角和,只要取 7 Dean( -, 2: M+1≤n≤M+N 定理3设H(,x)由(19)式给出则对任意的T≥1有 JH(s, x) 2dt < 小(q) (aT+n)lan13n-.(20) 证对H(s,X)应用引理2得 H(5,x)|a≤x2 x(n)- d 其中λ〓c矿.上式二边对x求和,并交换积分号与求和号,应用 定理2可得 ∑)1H(,x)≤x2∑∑a,x(n)n-ldr