2,故有(r1r2)=1 再设q一 由引理3知 r(2)-2()(4)-(x), (42 叉2)一兄 (43) 由以上两式可知,(41)式的和式中不为零的项必须满足条件 ,r4)=1,p2(k) (44 而当(,r4一1时由x1xxx1x2及引理1知 Gx(m)=Gx2(m)=x1()x4()C(m)xx(m)(45) 由(42)—(45)及引理6即得 F(x1,x2,m)=x2(r2)x2(r1)(r1r2){ x22 2( (46) 〔,r=1 由(46)式容易看出,当(r3rr2)>1时恒有 F(x1:x2,m) 所以只要考虑 (r3r1r2) 的情形.首先,我们来讨论Gxx(m).由于r1n2不一定互素,所 以不能直接利用引理1,由特征的分解知,可设 x1=x3x1,X2=x3)x2 其中x,X2分别为模rr2的原特征,xy),x)均为模r3的原特 征.这样就有 X,X2=x])XiX2-X3x1xX 其中X3=X)X并不一定是模r的原特征,而乘积x1x则是模 rr的原特征。由于(rsrr2)一1,故利用引理1及(32)式得 xx,m)= Xxix (m)X,)X x( Gx, (m)G/x (m) x3(r1r2)xx(r2)x2x2(m)Cx,(m)(xx2).·(47)
故进一步需要讨论Gx(m),设X3modn> x, mod rs,由引理 5,6可推得 am)≤(n)-(xn) (48) 所以当(r3,r1r2)〓1时,由(47),(48)式得到 (x1xm)≤事((n(m,1 中2(rr2) m 2 Pl(r,, m) 最后我们来讨论(46)右边的和式由(47)式知当(m,r1r2) (m,r4/r3)>1时恒有 F(x 所以我们只要考虑(m,r4/r3)=↓的情形.这时由引理2知 C 1 中( (+如2)(+,21) 1千 (50) 综合以上的讨论,由(46),(47),(49)及(50)式可得到下面两个 结论: (1)当(3")>1,1(2) 1三个条件中 只要有一个成立时,就一定有
F(x1,x2,m)=0 (51) ()当(,)-1,A()+0及(,-1威立时,必 F(x1,k2m)≤ 批 1 (52) (p一1)2)中(m) 用粗略的估计,可以算出上式右边m/(m)前的系数不会超过 32.这就证明了我们的引理 对于引理7需要指出的一点是,当模r1n2中有一个或全都等 于1时,引理仍然成立。(参看§1附注)
第二章特征和估计与大筛法 本章主要是讨论下列三种型式的特征和估计: x(m),x÷x (1) 界=M十1 习∑ (2) 以及 如号 a,xG Q≥ n=M+1 其中求和号∑表示对模的所有原特征求和,(1)式是最简单 的特征和估计,(2)式是对一个模q的经典的特征和估计,而(3) 式是所谓大筛法型的特征和估计,它首先是由 bombieril所引进 的,为了估计这一类新的特征和就需要利用大筛法—这是本章 53的内容。本章还要讨论相应于(2)、(3)式的一些混合型的特 征和均值估计,本章的内容在本书大多数章节中都要用到,是十 分重要的 51.最简单的特征和估计 设x为模4的非主特征,由特征的性质立即推出,对任意的 M,N有估计式 ∑x(n)≤ 2 成立。但这结果是十分粗糙的进一步我们要证明下面的定理. 定理1设x为模q的非主特征,则对任意的整数M及N 有
∑ x(m)≤2yqlo 证显然无妨一般,可设N<q.首先讨论x为原特征的情 形。由第一章(32)及(40)式知 2x(O2( 以及 ∑x(n) x q n 由于 nx ≤ 所以,当为奇数时, ∑x(n)≤√q 二M+1 当q为偶数时, M+N x(n)≤√ n〓M+1 利用不等式 2h+1 可得 ∑↓≤1g,q为奇数; (q1)≤Jogq 为偶数