§3.高斯一塞德尔( Gauss- Seidel)迭代法 迭代公式x)=Bx46)+g(k=0,1,2,…,)用方程组表示为 (k+1) (k) 6ux2+6 (k) bImxm +8 2=b2 (k) + b bnct xn=bnx+bnx2+…+bnxm +g 因此,在 Jacobi迭代法的计算过程中,需同时保留两个 近似解向量x和x+)。若把迭代公式改写成
§3. 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 12 2 13 3 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 23 3 2 2 ( 0,1,2, ) k k k k k k n n k k k k n n x Bx g k x b x b x b x g x b x b x b x g 迭代公式 用方程组表示为 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , 1 1 ( ) ( 1) k k k k n n n n n n n k k Jacobi x x x b x b x b x g 因此，在 迭代法的计算过程中，需同时保留两个 近似解向量 和 。若把迭代公式改写成
(k+1) b2x2+b1x3+…+bnxn+g (k+1) b (k+1) b23 (k) b (k) b (k+1) b (k+1) b, (k+1) 这样,在整个计算过程中,只需用n个单元存储近似 解分量。而且通常认为,近似解可能比老近似解更接 近精确解,因此,可望这种迭代会更有效 选取初始向量x),用上式迭代产生近似解序列{x6)} 这种方法叫 Gauss- Seidel迭代法。 评价:与 Jacobi相比,只需一组工作单元存放近似解
( 1) ( ) ( ) ( ) 1 12 2 13 3 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 21 1 23 3 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 k k k k n n k k k k n n k k n n n x b x b x b x g x b x b x b x g x b x ( 1) ( 1) 2 , 1 1 (0) ( ) , { }, k k n n n n k n x x Gauss Seidel Jacobi b x b x g 这样，在整个计算过程中，只需用 个单元存储近似 解分量。而且通常认为，近似解可能比老近似解更接 近精确解，因此，可望这种迭代会更有效。 选取初始向量 用上式迭代产生近似解序列 这种方法叫 迭代法。 评价：与 相比，只需一组工作单元存放近似解
用矩表示为x1=1x+Ux0+g 0b2…bn 其中 b20 0 b U b. b 0 移项可得(-D)x)=8+g 因为/一2=1数)存在,上式可数写为 (k+1) (-D)Ux+(1-L)g
( 1) ( ) 12 1 21 2, 1 2 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 1 0 0 0 0 U 0 0 ( ) 1, ( ) ( ) ( ) k k n n n n k k k k Lx Ux g L I L x Ux g I L I L x I L Ux I L g b b b b b b 用矩阵表示为 (k+1) x 其中 ， 移项可得 因为 故 存在，上式可改写为
如果用矩阵A来表示,记 00 12 13 0 L n-In -am-1 0 0 则L=DL,U=DU 今1-L=DD-DL=D(D-D) 由x6+)=(/-D)bx)+(-D)g →x+)=(D-D)26)+(D-L)b 式中矩阵M=(D-D)U为nws- seidel迭代法的迭代矩伡
12 13 1 21 23 2 31 32 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( ) ( ) n n n n n n nn k k A a a a a a a L a a U a a a a L D L U D U I L D D D L D D L x I L Ux 如果用矩阵 来表示，记 则 由 ) 1 ( 1) 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k I L g x D L Ux D L b M D L U Gauss Seidel 式中矩阵 为 迭代法的迭代矩阵