第4章非线性方程求根 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向,而非线性方程的求根也成了 个不可缺的内容。但是,非线性方程的求根非常复杂 通常非线性方程的根的情况非常复杂: a=1无解 sin(x)=y y=x +a 一个解 2 无穷组解 4 x=y +a a=0两个解 y 2 a=-1四个解
第4章 非线性方程求根 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一 个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。 通常非线性方程的根的情况非常复杂： = = 2 1 ) 2 sin( y x y 无穷组解 = − = = = = + = + 1 0 4 1 1 2 2 a a a a x y a y x a 无解 一个解 两个解 四个解
所以,只在某个区域内可能解存在唯一,而且经常很简单的形式得不到精确解: e-Cos(a)=0 因此,通常我们用迭代法解非线性方程 看迭代法之前,先看看一种简单直观的方法 原理:f(a)·f(b)<0→3x,s1,f(x)=0
所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解： 因此，通常我们用迭代法解非线性方程 看迭代法之前，先看看一种简单直观的方法 原理： f (a) f (b) 0 x,s.t., f (x) = 0 e −cos( x) = 0 x
41对分法 什么时候停止? b 血2b x+1-xk<1或f(x)<62
4.1对分法 a b x1 x2 a b 什么时候停止？ 1 1 x x ε k+ − k 2 或 f (x) ε x*
算法 While(la-b>eps X=(a+b)/2 f(×) 若(f(x)<eps)x为解 若f(x)*f(b)0修正区间为[x,b] 若f(a)*(x)<0修正区间为ax End while 每次缩小一倍的区间,收敛速度为1/2,较慢,且只能求一个根,使用条件限制较大 不能保证x的精度
While(|a-b|>eps) x=(a+b)/2 f(x) 若(|f(x)|<eps) x为解 若f(x)*f(b)<0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)<0 修正区间为[a,x] End while 每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，使用条件限制较大 算法 2 x* x 不能保证 x 的精度
42迭代法 等价变换 f∫(x)=0 x=g(x) ∫(x)的根←◆g(x)的不动点 从一个初值x出发,计算x1=g(x),x2=g(x1), 思xk1=g(x),若{x%收敛,即存在x*使得 路mmx=x,且g连续,则由lmx1=问阳知x) gx*),即x*是g的不动点,也就是f的根
4.2 迭代法 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思 路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0 ), x2 = g(x1 ), …, xk+1 = g(xk ), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 k k=0 x lim x x * k k = → ( ) k k k k x g x → + → lim 1 = lim