第8章常微分方程 实际中,很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些 性质。但是,只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是 没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一,在自然界与工程界有很广泛 的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏 微分方程问题,也可以化为常微分方程问题来近似求解。 本章讨论常微分方程的数值解法
第8章 常微分方程 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些 性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是 没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛 的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。 本章讨论常微分方程的数值解法
对于一个常微分方程 f(x,y),x∈[a,b 通常会有无穷个解。如: =c0(x)→y=$m(x)+aN∈ 因此,我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出,如下面的初值问题: dh =f(x,y),x∈[a,b] dx y(a)=yo 为了使解存在唯一,一般,要加限制条件在/上,要求∫付y满足 Lipschita条件: f(x,y)-f(x,y2)5Lly-y2
对于一个常微分方程： ' f (x, y) , x [a,b] dx dy y = = 通常会有无穷个解。如： x y x a a R dx dy = cos( ) = sin( ) + , 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题： = = 0 ( ) ( , ) , [ , ] y a y f x y x a b dx dy 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件： 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y
常微分方程的解是一个函数,但是,计算机没有办法对函数进行运算。 因此,常微分方程的数值解并不是求函数的近似,而是求解函数在某些节 点的近似值。 例:我们对区间做等距分割:x1=hi,h=(b-a)/m 设解函数在节点的近似为{y},则: =f(x, y dx x-xi 由数值微分公式,我们有 向前差商公式 y+1-y ≈f(x2y) h y+1=y1+hf(x12y) 可以看到,给出初值,就可以用上式求出所有的{y}
常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。 因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节 点的近似值。 例：我们对区间做等距分割： , ( ) / i x h i h b a m = = − 设解函数在节点的近似为 { }i y 由数值微分公式，我们有 i i x x x x f x y dx dy = = = ( , ) ，则： ( , ) 1 i i i i f x y h y y + − 向前差商公式 ( , ) i 1 i i i y = y + h f x y + 可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的 { }i y
这种方法,称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上,求未知函数y在这些 点上的值的近似 基本步骤如下: ①对区间作分割:△:a=<x1<…<xn=b 求y(x)在x1上的近似值y。{v}称为分割△上的格点函数 我们的目的,就是求这个格点函数 ②由微分方程出发,建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足: A、解存在唯一;B、稳定,收敛;C、相容 ③解差分方程,求出格点函数 数值方法,主要研究步骤②,即如何建立差分方程,并研究差分方程的性质
基本步骤如下： ③ 解差分方程，求出格点函数 ① 对区间作分割： I : a = x0 x1 xn = b 求 y(x) 在 xi 上的近似值 yi 。 { }i y 称为分割 I 上的格点函数 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。 这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些 点上的值的近似。 我们的目的，就是求这个格点函数
为了考察数值方法提供的数值解,是否有实用价值,需要知道如下几个结论: ①步长充分小时,所得到的数值解能否逼近问题得真解;即收敛性问题 ②误差估计 ③产生得舍入误差,在以后得各步计算中,是否会无限制扩大;稳定性问题
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题