§6三次样条插值 问题的提出: 上面讨论的分段低次插值函数 都有一致收敛性,但光滑 性较差,对于像高速飞机的机翼形 线,船体放样等型值线 往往要求有二阶光滑度,即有二阶 连续导数,早期工程师 制图时,把富有弹性的细长木条 (所谓样条)用压铁固定 在样点上,在其它地方让它自由弯 曲,然后画下长条的曲 线,称为样条曲线。它实际上是由 分段三次曲线并接而成,在连接点 即样点上要求二阶导数连续,从数
§6 三次样条插值 问题的提出: 上面讨论的分段低次插值函数 都有一致收敛性，但光滑 性较差，对于像高速飞机的机翼形 线，船体放样等型值线 往往要求有二阶光滑度，即有二阶 连续导数，早期工程师 制图时，把富有弹性的细长木条 （所谓样条）用压铁固定 在样点上，在其它地方让它自由弯 曲，然后画下长条的曲 线，称为样条曲线。它实际上是由 分段三次曲线并接而成，在连接点 即样点上要求二阶导数连续，从数
学上加以概括 就得到数学样条这一概念。下面我 们讨论最常用的三次样 条函数。 三次样条函数: 定义:函数S(x)∈C{ab],且在每 个小区间[x,x上是三次 多项式,其中a=x<x1x…<x=b 是给定节点,则称S(x)是 节点x,X1…,x上的三次样条函 数 若在节点x上给定函数值 y=f(xXj=0,1,…,m),并成立
学上加以概括 就得到数学样条这一概念。下面我 们讨论最常用的三次样 条函数。 三次样条函数: 定义:函数 ( ) [ , ] 2 S x C a b ，且在每 个小区间 [ , ] j j+1 x x 上是三次 多项式，其中 a x x x b = 0 1 n = 是给定节点，则称 S(x) 是 节点 n x , x , , x 0 1 上的 三次样条函 数。 若在节点 j x 上给定函数值 y f (x )( j 0, 1, , n) j = j = ，并成立
S(x)=y(=0,1,…,m), 则称S(x)为三次样条插值函数。 从定义知要求出S(x),在每个 小区间[x,xm上要确定 4个待定系数,共有n个小区间, 故应确定4n个参数。 根据S(x)在[a,b上二阶导数连续, 在节点x(=12,…,n-1 处应满足连续性条件 S(x1-0)=S(x+0 S(x1-0)=S(x1+0) S"(x1-0)=S"(x1+0) 共有3m-3个条件,再加上S(x)满
S(x ) y ( j 0, 1, , n) j = j = ， 则称 S(x) 为三次样条插值函数。 从定义知要求出 S(x) ，在每个 小区间 [ , ] j j+1 x x 上要确定 4 个待定系数，共有 n 个小区间， 故应确定 4n 个参数。 根据 S(x) 在 [a,b] 上二阶导数连续， 在节点 x ( j = 1, 2, , n −1) j 处应满足连续性条件 ( − 0) = ( + 0) j j S x S x ， ' ' ( 0) ( 0). S x S x j j − = + , ( − 0) = ( + 0). j j S x S x 共有 3n −3 个条件，再加上 S(x) 满
足插值条件 0,1,…,n) 共有4n-2个条件,因此还需要2 个条件才能确定S(x) 通常可在区间[a,b端点 a=x0,b=x上各加一个条件 (称为边界条件),可根据实际问 题的要求给定。常见的有 以下三种: °已知两端的一阶导数值, S(xo=f 0 x
足插值条件 S(x ) y ( j 0, 1, , n) j = j = ， 共有 4n − 2 个条件，因此还需要 2 个条件才能确定 S(x) 。 通 常 可 在 区 间 [a,b] 端 点 n a = x , b = x 0 上各加一个条件 （称为边界条件），可根据实际问 题的要求给定。常见的有 以下三种： 1° 已知两端的一阶导数值， 即 n n S(x ) = f , S(x ) = f 0 0
2°两端的二阶导数已知,即 S(xo)=fo, S(n)=f 其特殊情况S"(x)=S"(xn)=0,称 为自然边界条件。 3°当f(x)是以xn-x0为周期 的周期函数时,则要求 S(x)也是周期函数。这时边界条件 应满足 S(x+0)=S(xn-0),S"(x0+0)=S( S(x6+0)=S"(xn-0) 而此时y=y。这样确定的样条函 数S(x),称为周期样条函数
2° 两端的二阶导数已知，即 '' 0 0 ( ) , ( ) n n S x f S x f = = ， 其特殊情况 ( ) ( ) 0 S x0 = S xn = ，称 为自然边界条件。 3° 当 f (x) 是以 0 x x n − 为周期 的周期函数时，则要求 S(x) 也是周期函数。这时边界条件 应满足 0 0 ( 0) ( 0), ( 0) ( 0) n n S x S x S x S x + = − + = − ， ( 0) ( 0) S x0 + = S xn − ， 而此时 n y = y 0 。这样确定的样条函 数 S(x) ，称为周期样条函数