第7章矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中,会遇到特征值和特征向量的计算,如:机械、结构或电磁振 动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大
第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振 动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大
特征值:P(4)=det(-A)=0的根为矩阵A的特征值 特征向量:满V=Av的向量v为矩阵A的对于特征值11的特征向量 PA()称为矩阵A的特征多项式 PA()是高次的多项式,它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵, 从而求得所有特征值的近似
特征值： PA () = det(I − A) = 0 的根 为矩阵A的特征值 特征向量：满足 v Av i = 的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量 i () PA 称为矩阵A的特征多项式 PA () 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵， 从而求得所有特征值的近似
71幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如:矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法,它是最经典的方法 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中,常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下: 特征值: A≥2122…≥12 特征向量: 幂法可以求V1,基本思想很简单
7.1 幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下： n n v v v 1 2 1 2 特征值： 特征向量： 幂法可以求 1 1 v ，基本思想很简单
设{用线性无关,取初值x),作迭代x+)=Ax6)=4x0 设:x0)=a1V1+a2V2+…+aN小 则有:x()=A(a1n+a2y2+…+ann) Av+a,Av+…+a.A k k +a 1+∴+a
设 n i i=1 v 线性无关，取初值 (0) x ，作迭代 ( 1) ( ) 1 (0) x Ax A x k+ k k+ = = 设： n n x = a v + a v ++ a v 1 1 2 2 (0) n k n n k k n k n k k n n k k a v a v a v a A v a A v a A v x A a v a v a v = + + + = + + + = + + + 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 则有：
1)若:421≥…≥12 k k X)=n a,v,+a 2(4n2+…+/ a1≠0则k足够大时,有 x)=2(an) (k+1) k+1 Ma 可见x(6),x(+几乎仅差一个常数4 所以: ≈x (k+1) 1)/x() 任意分量相除 ≈x (k) 特征向量乘以任意数,仍是特征向量
（1）若： 1 2 n + + = + n k n n k k k x a v a v a v 1 2 1 2 1 1 1 2 ( ) a1 0 则k足够大时，有 ( ) 1 1 1 ( ) x a v k k = ( ) 1 1 1 1 ( 1) x a v k+ k+ = 可见 ( ) ( 1) , k k+ x x 几乎仅差一个常数 1 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 / k k k v x x x + 所以： 任意分量相除 特征向量乘以任意数，仍是特征向量