第3章曲线拟合的最小二乘法 给出一组离散点,确定一个函数逼近原函数,插值是这样的一种手段 在实际中,数据不可避免的会有误差,插值函数会将这些误差也包括在内。 因此,我们需要一种新的逼近原函数的手段: ①不要求过所有的点(可以消除误差影响) ②尽可能表现数据的趋势,靠近这些点
第3章 曲线拟合的最小二乘法 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。 在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。 因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： ①不要求过所有的点（可以消除误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点
有时候,问题本身不要求构造的函数过所有的点。如:5个风景点,要修一条公 路S使得S为直线,且到所有风景点的距离和最小 对如上2类问题,有一个共同的数学提法:找函数空间上的函数g, 使得g到/的距离最小 先讲些预备知识
有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公 路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。 先讲些预备知识 对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g， 使得g到f的距离最小
预备知识 定义1:向量范数 映射:,|:R”→RU{O}满足: ①非负性 20,且Ⅺ=0X=0 ②齐次性Va∈RaXx=1a:|(‖ ③三角不等式|X+ysx+11 称该映射为向量的一种范数 我们定义两点的距离为-Y
定义1：向量范数 映射： : {0} 满足： → + R R n ①非负性 X 0,且 X = 0 X = 0 ②齐次性 aR, aX = a X ③三角不等式 X +Y X + Y 称该映射为向量的一种范数 预备知识 我们定义两点的距离为： X −Y
常见的范数有: X=∑xX={x,x2…x} i=1 x2=1∑(x),x={1x,…x} X=max(x,X=x,x2",x, 定义2函数,g的关于离散点列加的离散内积为: (f,g)D=∑f(x)g(x) 0
常见的范数有： n n i i X (x ) , X x , x , , x 1 2 1 2 2 = = = X = max{ xi }, X =x1 , x2 , , xn n n i i X x , X x , x , , x 1 2 1 1 = = = 定义2：函数f，g的关于离散点列 n i i x =0 的离散内积为： = = n i D i i f g f x g x 0 ( , ) ( ) ( )
定义3:函数f离散范数为 b=2/((x) 提示:该种内积,范数的定义与向量的2一范数一致 我们还可以定义函数的离散范数为: f|b=(x),f(x)…,f(x,)1=max(f(x,f(x)…f(x,) /lD=K(x)f(x)…,f(x,)=∑(x)
定义3：函数f的离散范数为 = = n i D i i f f x f x 0 ( ) ( ) 提示：该种内积，范数的定义与向量的2－范数一致 我们还可以定义函数的离散范数为： ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 1 0 ( ), ( ), , ( ) max ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ), , ( ) ( ) D n n n D n i i f f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f x = = = = =