第二章数值微分和数值积分
第二章 数值微分和数值积分
数值微分 1.函数f(x)以离散点列给出时,而要求我 们给出导数值, 2.函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中,关于导数的定义如下 f∫(x+h)-f(x f(x)=lim =lim/(+)-f(x-h h). f(x+h-f(x-h hi h h→0 h h→0 2h 自然,而又简单的方法就是,取极限的近似值,即差商
数值微分 h f x h f x h h f x f x h h f x h f x f x h h h 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 + − − = − − = + − = → → → 1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我 们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中，关于导数的定义如下： 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
向前差商 ∫(x)≈ f(o+h)f(x h 由 Taylor展开 h2 f(x0+h)=f(x0)+hf(x)+f"(5)x≤5≤x0+h 因此,有误差 R(x)=f(xo) f(o+)-f(o h =-f"()=O(h) h
h f x h f x f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − 由Taylor展开 f x x h h f x + h = f x + hf x + 0 0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( ) 因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x h f x R x f x = − = + − = − 向前差商
向后差商 ∫"(x)≈ f(xo-f(o-h h 由 Taylor,展开 h f(x。-h)=f(x0)-(x0)+f"(5,x≤5≤x+h 2 因此,有误差 R(x)=/(x)-(x)-/(x-b)h f"'(2)=O(h) h
h f x f x h f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 − − 由Taylor展开 f x x h h f x − h = f x − hf x + 0 0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( ) 因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x f x h R x f x = = − − = − 向后差商
中心差商 f(o1(xo+ h)-f(x0-h) ch 由 Taylor展开 f(x0+h)=f(x0)+hf(x0)+,f"(x0)+f"()x0≤5≤x+h 2! f(x0-h)=f(x0)-hf(x)+f"(x)-f"(2),x-h≤2≤x0 3 因此,有误差 f(+h)-f(o-h R(x)=f(xo) ch [f"(1)+f"(2)=f"()=Oh2) 12 6
h f x h f x h f x 2 ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − − 由Taylor展开 2 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 3 0 0 0 0 2 0 2 0 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! h h f x h f x hf x f x f x x h h h f x h f x hf x f x f x h x + = + + + + − = − + − − 因此，有误差 '''( ) ( ) 6 [ '''( ) '''( )] 12 2 ( ) ( ) ( ) '( ) 2 2 1 2 2 0 0 0 f O h h f f h h f x h f x h R x f x = + = = + − − = − 中心差商