第6章解线性方程组的迭代法 直接法得到的解是理论上准确的,但是我们可以看得出,它们的计算量都是n3 数量级,存储量为n2量级,这在n比较小的时候还比较合适(n<400),但是对于现 在的很多实际问题,往往要我们求解很大的nη的矩阵,而且这些矩阵往往是系数矩阵 就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵,在用直接法时就会耗费大量的时 间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法:迭代法 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样,需要我们构造一 个等价的方程,从而构造一个收敛序列,序列的极限值就是方程组的根
第6章 解线性方程组的迭代法 直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n 3 数量级，存储量为n 2量级，这在n比较小的时候还比较合适（n<400），但是对于现 在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵 就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时 间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一 个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根
对方程组Ax=b做等价变换x=Gx+g 如:令A=M-N,则 Ax=b→(M-N)x=b→M=b+Mx→x=MNx+Mb 则,我们可以构造序列x=Gx+g 若x)→>x*→x*=Gx*+g→Ax*=b 同时:x(k+)-x米=Gx(的)-Gx=G(x6)-x* k+1 =G+(x 所以,序列收敛夕G→>0 与初值的选取无关
对方程组 Ax = b 做等价变换 x = Gx + g Ax b M N x b Mx b Nx x M Nx M b 1 1 ( ) − − = − = = + = + 如：令 A= M − N ，则 则，我们可以构造序列 x G x g k k = + ( +1) ( ) 若 * ( ) x x k → x* = G x*+g Ax* = b 同时： * * ( *) ( 1) ( ) ( ) x x Gx Gx G x x k k k − = − = − + ( *) 1 (0) G x x k = = − + → 0 k 所以，序列收敛 G 与初值的选取无关
定义61:(收敛矩阵)G→>0 定理:G→>0◇(G)<1矩阵G为收敛矩阵,当且仅当G的谱半径<1 由p(G)<G‖知,若有某种范数|Gn<1则,迭代收敛
定义6.1：（收敛矩阵） → 0 k G 定理： G →0 (G) 1 矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1 k 由 (G) G 知，若有某种范数 1 p G 则，迭代收敛
61 Jacobi迭代 +∴ a. x=b x +∴+a.x.=b nn n XX (a12x2+…+anxn-b1) →x2=(a2x1+a23x3+…+a1nxn-b2) (an1x1+…+an1xn1-bn) nn
6.1 Jacobi迭代 + + = + + = n nn n n n n a x a x b a x a x b 1 1 11 1 1 1 + + − − = + + + − − = + + − − = − − ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 3 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b a x
(k+1) (k x,十∷+a1x 12~2 In'n (6)-b1) (k+1) tax +…+anx0()-b2) 22 (k+1) (an1x1+…+a1x (k) nn- n-1 格式很简单 (k+1) Ca, x+2a,x-b) =1+
+ + − − = + + + − − = + + − − = − − + + + ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( ) 2 3 3 ( ) 2 1 1 2 2 ( 1) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 1 ( 1) 1 n k n n n k n n n k n k n n k k k k n n k k a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b a x 格式很简单： ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ) i n j i k i j j i j k i j j i i k i a x a x b a x + − − = = + − = +