中国科学院：《数值计算方法》第二章 解线性方程组的迭代法

0 b 6 b g1 bo b b 若记B g2 g 66 b nn 方程组可简记为x=Bx+g 选初值向量x代入→x0),x1)=Bx0+g,代入x →x2)…,如此继续下去,就产生一个向量序列{x} 满足x+)=Bx6)+g(k=0,1,2,…) 此过程所给出的迭代法称为 Jacobi迭代法,又称简单 迭代法

12 13 1 1 1 1 21 23 2 1 2 2 1 2 3 1 (0) (1) 1 0 (1) (2) ( ) ( 1) 0 0 0 , { } n n n n n n n nn n k k b b b b g b b b b g B g b b b b g x Bx g x x x Bx g x x x x Bx                                     （ ） （ ） 若记 则方程组可简记为 选初值向量 代入 ，代入 ，如此继续下去，就产生一个向量序列 满足 ( ) ( 0,1,2, ) k g k Jacobi    此过程所给出的迭代法称为 迭代法，又称简单 迭代法

矩阵简化记法 0b2…b 0 0)(1-b2 b1 b20 b,0 0|-b21 b B (bm, b 6-6 C11 C1112 aIn a22 C21a22 a2n 1-DA am八 anl an2 同样 8=(8128 g =(b1/a1,b2/a22,…,bn/an)=Db

矩阵简化记法 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 21 2 12 1 1 2 21 2 12 1                                        b b b b b b b b b b b b n n n n n n n n B I- D A a a a a a a a a a a a a I nn 1 n1 n2 nn 21 22 2n 11 12 1n 1 1 22 1 11                                          1 1 2 1 1 1 2 2 2 ( , , , ) ( , , , ) T T n n n n g g g g b a b a b a D b       同 样

收敛与解 Jacobi迭代x (n+1) Bx+gn=O,1,2,… 若收敛 Ck x}->x 则 Br+ 即(-B)x=g,B=Ⅰ-DA,g=Db →DAx=Db →Ax=b 故如果序列收敛,则收敛到解.B称迭代矩阵

收敛与解 1 * * * n 0 1 2 { } B g n n k Jacobi x Bx g x x x x         （ ） （ ） （ ） 迭代 ，，， 若收敛 ，则 * 1 1 1 * 1 * (I B)x g, B I D A, g D b D Ax D b Ax b              即 故如果序列收敛, 则收敛到解.B 称迭代矩阵

10 2x2=72 例:用lcob迭代法求解{-x+10x2-2x=83 5x3=42 解:B=Ⅰ-DA 00 100 10 10-1-200.102 010-0 01-110-2|=0.1002 1-1 0.20.20 00 g=Db=(72,8.3,8 取x0)=(0,0,0,代入选代式,得x=Bx0+g=(72,8384) x2)=Bx+g=(9,710.70,115)2…x)=(10.99941199912.999) 精确解为x=(111,13)3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 10 2 72 10 2 83 5 42 1 0 0 10 1 0 0 10 1 2 0 0.1 0.2 1 0 1 0 0 0 1 10 2 0.1 0 0.2 10 0 0 1 1 1 5 0.2 0.2 0 1 0 0 5 x x x Jacobi x x x x x x B I D A                                                                         例：用 迭代法求解 解： 1 (0) (0) (2) (1) (9) (7.2,8.3,8.4) (0,0,0) , (7.2,8.3,8.4) (9.71,10.70,11.5) (10.9994,11.9994,12.9992) (11,12,13) . T T T T T g D b x Bx g x Bx g x x              取 代入迭代式，得 (1) x 精确解为

Jacobi迭代法的计算过程如下: 1输入4=(an)b=(;…,b),维数n,x0=(x0),x),…,) E,最大容许迭代次数N 2置k=1 3对=12…nx=(b∑anx0)/ J≠ 4若x-x0<E,输出x,停机;否则转5 5若k<N,置k+1→k,x→x(i=1,2…,m),转3; 否则,输出失败信息,停机。 评价:公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量 的乘法,不改变M的稀疏性,需两组工作单元,存x),x+1

Jacobi迭代法的计算过程如下： (0) (0) (0) (0) 1 1 2 (0) 1 (0) (0) 1. ( ), ( , , ), , ( , , , ), , . 2. 1. 3. 1,2, , ( )/ 4. , , 5 5. , 1 , ( 1,2, , ), 3 ij n n n i i ij j ii j j i i i A a b b b n x x x x N k i n x b a x a x x x k N k k x x i n                        输入 维数 最大容许迭代次数 置 对 若 输出 停机；否则转 。 若 置 转 ； 否则，输出失败信息，停机。 ( ) ( 1 , k k M x x  ） 评价：公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量 的乘法，不改变 的稀疏性，需两组工作单元，存