§5分段低次插值 5-1多项式插值的问题 前面根据区间[ab上给出 的节点做插值多项式L(x) 近似f(x),一般总认为L(x)的次数 n越高逼近x)的精度 越好,但实际上并非如此。这是 因为对任意的插值节点 ,当n>∞时,Ln(x)不一定收敛 到f(x),本世纪初龙格 ( Runge)就给出了一个等距节 点插值多项式L(x)不收 敛的f(x)的例子。他给出的函数 为f(x)=1(1+x)。它在[5,51
§5 分段低次插值 5-1 多项式插值的问题 前面根据区间 [a, b] 上给出 的节点做插值多项式 L (x) n 近似 f (x) ，一般总认为 L (x) n 的次数 n 越高逼近 f (x) 的精度 越好，但实际上并非如此。这是 因为对任意的插值节点 ，当 n → 时， L (x) n 不一定收敛 到 f (x) ，本世纪初龙格 （Runge）就给出了一个等距节 点插值多项式 L (x) n 不收 敛的 f (x) 的例子。他给出的函数 为 ( ) 1/(1 ) 2 f x = + x 。它在 [−5, 5]
上各阶导数均存在,但在[5,5] 上取n+1个等距节点 k k=-5+10(k=0.1…n)所构 造的拉格朗日插值多项式 Ln(x)=∑ n+1 1+x i-x) n+1 当n->∞时,只在x≤363内 收敛,而在这区间外是 发散的
上各阶导数均存在，但在 [−5, 5] 上取 n +1 个等距节点 5 10 (k 0, 1, , n) n k xk = − + = 所 构 造的拉格朗日插值多项式 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 0 j n j n j n j n x x x x x L x + + = + − = . 当 n → 时，只在 x 3.63 内 收敛，而在这区间外是 发散的
0.5 因此随着插值结点数增加, 插值多项式的次数也相 应增加,而对于高次插值容易带 来剧烈振荡,带来数值不 稳定。为了既要增加插值结点, 减小插值区间,以便更好 的逼近被插值函数,又要不增加
因此随着插值结点数增加， 插值多项式的次数也相 应增加，而对于高次插值容易带 来剧烈振荡，带来数值不 稳定。为了既要增加插值结点， 减小插值区间，以便更好 的逼近被插值函数，又要不增加
插值多项式的次数以减 误差,可以采用分段插值的办法。 5-2分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过 插值点用折线段连接起 来逼近f(x)。设已知节点 a=x0<x<…<xn=b上的函数 值0,1,…,n 记 h=xk4-xh=maxh,求一折线函 数l(x)满足: 1°记I(x)∈C[a,b], 3°(x)在每个小区间
插值多项式的次数以减少 误差，可以采用分段插值的办法。 5-2 分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过 插值点用折线段连接起 来逼近 f (x) 。设已知节点 a x x x b = 0 1 n = 上的函数 值 n f , f , , f 0 1 ， 记 1 , max k k k k h x x h h = − = + ，求一折线函 数 I (x) h 满足： 1° 记 I (x) C[a, b] h ， 2 ° I (x ) f (k 0, 1, , n) h k = k = ， 3 ° I (x) h 在 每 个 小 区 间
xk,xk+]上是线性函数, 则称(x)为分段线性插值函数。 Xn/ X, 由定义可知/(x)在每个小 区间xk,x]上可表示为 X-x X-X k41~x,h+(xk=x≤x k+1 k wk+ 若用插值基函数表示,则在 整个区间[a,b上为
[ , ] k k+1 x x 上是线性函数， 则称 I (x) h 为分段线性插值函数。 由定义可知 I (x) h 在每个小 区间 [ , ] k k+1 x x 上可表示为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 + + + + + − − + − − = k k k k k k k k k k h f x x x x x x x f x x x x I x 若用插值基函数表示，则在 整个区间 [a, b] 上为 x0 x1 x2 x3 … xn-1 xn Y X