§3函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标 准,研究函数f(x)∈(ab]的逼近多项 式,就是最佳平方逼近问题。 若存在P(x)∈Hn,使 1-Pl [(x), (G)P dx= int l P"(x)就是f(x)在[ab]上的最佳平 方逼近多项式。 定义设在区间(a2b)上非负函 数(x),满足条件: ∫。"p(x)dx存在 (n=0,1,…)
§3 函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标 准，研究函数 f (x) C[a,b] 的逼近多项 式，就是最佳平方逼近问题。 若存在 n Hn P (x) * ，使 * * 2 2 2 [ ( ) ( )] d inf b n n a P H f P f x P x x f P − = − = − ， ( ) * P x n 就是 f (x) 在 [a,b] 上的最佳平 方逼近多项式。 定义 设在区间 (a,b) 上非负函 数 (x) ，满足条件： 1 ） x x x n b a ( )d 存 在 (n = 0, 1, ) ；
2)对非负的连续函数g(x),若 g(p(dx=o 则在(a2b)上g(x)≡0,就称(x)为 区间(a2b)上的权函数。 对f(x)∈C[a,b及Ca,b中的 个子集 spanφo ,1…卯n},若存 在S(x)∈卯,使 f-S|2=mr|f-S‖ p(xlf(x)-s(x) S 则称S(x)是f(x)在子集cCa,6中 的最佳平方逼近函数。 S(x)=∑4(x),求S(x等价于求
2） 对非负的连续函数 g(x) ，若 ( ) ( )d = 0 g x x x b a ， 则在 (a,b) 上 g(x) 0 ，就称 (x) 为 区间 (a,b) 上的权函数。 对 f (x) C[a,b] 及 C[a,b] 中的一 个子集 span{ , , , } = 0 1 n ，若存 在 ( ) * S x ，使 f S f S x f x S x x b S S a inf inf ( )[ ( ) ( )] d 2 2 2 2 2 * − = − = − 则称 ( ) * S x 是 f (x) 在子集 C[a,b] 中 的最佳平方逼近函数。 令 0 ( ) ( ) n j j j S x a x = = ,求 ( ) * S x 等价于求
多元函数 b )=p(x) a, (x)=f(x)2dx 的最小值。P(x)为权函数。 由于(aa,an)是关于 0:1 an的二次函数,利用多元 函数求极值的必要条件 0(k=0,1,…,n) 2 P(ra (x)f(x)]pk(x)dx=0 (k=0
多元函数 I a a a x a x f x x j j n j b a n ( , , , ) ( )[ ( ) ( )] d 2 0 0 1 = − = 的最小值。 ( ) x 为权函数。 由 于 ( , , , ) 0 1 n I a a a 是 关 于 a a an , , , 0 1 的二次函数，利用多元 函数求极值的必要条件 0 (k 0,1, ,n) a I k = = ， 2 ( )[ ( ) ( )] ( )d 0 0 = − = = x a x f x x x a I j j k n j b a k (k = 0, 1, , n)
∑J。(x)(x)(x)dx=J,()/(x)(x)dx 内积定义 f, g)= p()f(x)g(x)dx /2=(x)=02=√∫ p(x)(f(x)-0)2dx 于 是 有 ∑(k29,1=(,9)(=0,1,…m) (9)(,9)…(929n)a「( (129)(929)…(,9)a1(f, (0n)(n,1)…(0n,n)
0 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d n b b j j k k a a j a x x x x x f x x x = = 内积定义 f g x f x g x x b a ( , ) ( ) ( ) ( )d = 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 [ ( )( ( ) 0) d ] ( , ) b a f f x x f x x f f = − = − = 于是有 ( , ) ( , ) ( 0, 1, , ) 0 k j a j f k k n n j = = = . 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n a f a f a f =
这是关于ao2C1,…,Cn的线性 方程组,称为法方程,由于 701,…On线性无关,故系数行列 式G(o291,…卯n)≠0,于是此方程 组有唯一解ak=ak(k=0,1 从 而得到 S(x)=a00(x)+…+ann2(x) 定理5(x),(x)…,9(x)在 [a,b上线性无关的充分必要条件是 它的克来姆( Gramer)行列式 Gn,≠0,其中 G=G(o, u
这是关于 a a an , , , 0 1 的线性 方程组，称为法方程，由于 n , , , 0 1 线性无关，故系数行列 式 G( 0 ,1 , , n ) 0 ，于是此方程 组有唯一解 * k k a = a (k = 0, 1, , n) ，从 而得到 ( ) ( ) ( ). * 0 * 0 * S x a x a x = ++ n n 定 理 5 0 1 ( ), ( ), , ( ) n x x x 在 [a,b] 上线性无关的充分必要条件是 它 的 克 来 姆 （ Gramer ） 行 列 式 Gn 0 ，其中 0 1 ( , , , ) G G n n =