Cy =3Nkg TE (eT-1)2 )称作Einstein热容函数，它是温度的函数： 高温下：T>TE Tr/T<<1 利用公式e'÷1+x (x<1) 可以给出：Cy≈3NkB 这正是Dulong-Petit定律的结果。因为高温下，k,T>hoe 谐振子处于高激发态，飞T比量子阶梯大的多，振动谱的 量子性质变得不那么重要了，就是经典理论描述的结果
高温下：T >> TE 2 2 3 3 ( ) ( 1) E E T T E E V B T B E T T e T C Nk Nk f T T e æ ö = = ç ÷ è ø - ( ) 称作Einstein热容函数，它是温度的函数： E E T f T / 1 T T E << 1 x 利用公式 e x B + 3 可以给出：CV B ; Nk 这正是 Dulong－Petit 定律的结果。因为高温下， 谐振子处于高激发态， 比量子阶梯大的多，振动谱的 量子性质变得不那么重要了，就是经典理论描述的结果。 B E k T >> hw ( x <<1) B k T
在低温下：T<TE eT >>1 Cy-3Nkp 很显然，表达式中指数项起主要作用，温度下降，热容量 降低。当T→0时，Cv→0，这与实验结果定性符合。但更 精细的实验结果表明，当温度很低时，Cv∝T,这说明 Einstein?理论假定单一频率是过分简单了。因此才促使 Bor等人开始了晶格振动的仔细研究，给出频率表达式。 尽管模型仍有不足之处，但Einstein使用一个可调参数 T(⊙E)就可以基本解释热容一温度关系的做法应当看作是 理论物理工作的一个典范之作。这充分说明，能量量子化 才是理解晶格振动问题的关键，这也间接印证了提出用声 子概念讨论晶体性质的必要性
在低温下：T << TE 很显然，表达式中指数项起主要作用，温度下降，热容量 降低。当T®0时，CV ®0，这与实验结果定性符合。但更 精细的实验结果表明，当温度很低时， CV ∝ T3，这说明 Einstein理论假定单一频率是过分简单了。因此才促使 Born等人开始了晶格振动的仔细研究，给出频率表达式。 1 TE T e >> 2 3 TE E T V B T C Nk e T - æ ö = ç ÷ è ø 尽管模型仍有不足之处， 但 Einstein使用一个可调参数 TE (ωE)就可以基本解释热容－温度关系的做法应当看作是 理论物理工作的一个典范之作。这充分说明，能量量子化 才是理解晶格振动问题的关键，这也间接印证了提出用声 子概念讨论晶体性质的必要性
25 Classical 金刚石比热测量值 20 与Einstein模型给出 Einstein 结果的比较。 15 10 TE=1320K 5 0.0.0( Q 0 0.2 0.4 0.6 0.8 .1.0 T1320)=(TT) Blakemore:Solid State Physics P121 黄昆书(P125图3一21)
见 Blakemore：Solid State Physics P121 黄昆书 (P125 图3－21) 金刚石比热测量值 与Einstein模型给出 结果的比较。 TE = 1320K
三.Debye模型： Debye(1912)修正了原子是独立谐振子的概念，而考 虑晶格的集体振动模式，他假设晶体是各向同性的连续弹性 介质，原子的热运动以弹性波的形式发生，每一个弹性波振 动模式等价于一个谐振子，能量是量子化的，并规定了一个 弹性波频率上限OD，称之为德拜频率。 因为由N个原子组成的晶体其自由度为3N,所以只能有 3N种振动模式，故： OD g(@)do 3N 代入弹性波的态密度：g(o）= 3V@2 2π2v 即可确定德拜频率数值： 其中n是单位体积原子数
三.Debye 模型： Debye（1912）修正了原子是独立谐振子的概念，而考 虑晶格的集体振动模式，他假设晶体是各向同性的连续弹性 介质，原子的热运动以弹性波的形式发生，每一个弹性波振 动模式等价于一个谐振子，能量是量子化的，并规定了一个 弹性波频率上限 ，称之为德拜频率。 因为由 N 个原子组成的晶体其自由度为 3N，所以只能有 3N 种振动模式，故： wD 0 ( )d 3 D g N w w w = ò 代入弹性波的态密度： ( ) 2 2 3 3 2 s V g v w w p = 即可确定德拜频率数值： 其中n是单位体积原子数。 ( ) 1 2 3 1 3 2 3 6 6 s D s N v n v V p w p æ ö = = ç ÷ è ø
德拜频率OD是一个十分有用的参数，它的直接意 义是在弹性波近似下，晶格振动的最高频率。与此相关我 们还可以定义德拜温度和德拜半径： Tp= hop kg 9D= =(6mn）月 Vs 在德拜模型下： 3N 3N E- ho-f g(o) ho h ho do i=1 i=l aT-1 修订了Einstein.单一振动频率的假定，求和变积分， 代入弹性波态密度表达式后，即可给出：
德拜频率 是一个十分有用的参数，它的直接意 义是在弹性波近似下，晶格振动的最高频率。与此相关我 们还可以定义德拜温度和德拜半径： ( ) 1 2 3 6 D D s q n v w = = p wD D D B T k w = h 在德拜模型下： 3 3 0 1 1 ( ) d 1 1 D i B B N N i i i i k T k T E g e e w w w w w e w w = = = = = - - å å h h ò h h 修订了Einstein单一振动频率的假定，求和变积分， 代入弹性波态密度表达式后，即可给出：