Linear System 上面的离散导致线性代数方程组 Awh= f 对于一维的系统,上述的离散方法会导致A是三对角 的,通过线性系统的求逆可以得到离散解n difference methods for BVP 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p 11/50
Linear System Au h = f A u h. difference methods for BVP, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.11/50
Execerices 对第三类边界条件,比较上面提到的两种离散方 法,实际计算一下,能否看到计算精度的不同? ■编写两点边值问题的差分计算程序 difference methods for BVP 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 12/50
Execerices difference methods for BVP, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.12/50
TTwo dimension 考虑二维的 Poisson方程 △u=f(x,y),(x,y)∈s 这里可能有三种边界条件,设=09是9的边界: 第一类边值条件:r=a(x,y) 第二类边值条件:mr=B(x,y) 第三类边值条件:m+kr=(x,y 构造上面的椭圆型方程的差分方法,同样也需要:区域 离散,方程离散,边界条件处理三个部分 difference methods for BVP 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 13/50
Two dimension Poisson − ∆ u = f (x, y ), (x, y ) ∈ Ω Γ = ∂ Ω Ω u|Γ = α (x, y ) ∂u ∂n |Γ = β (x, y ) ∂u ∂n + ku|Γ = γ (x, y ) difference methods for BVP, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.13/50
TTwo dimension 假设区域Ω是个长方形{xo,x1]×[0o,y],边界与坐标 平行。我们作区域离散,设x方向和y方向的步长分别 为h1和h2 0+ab1 =0.1.2 9=90+ih2,j=0,1,2, difference methods for BVP 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 14/50
Two dimension Ω [x 0, x 1] × [y 0, y 1] x y h 1 h 2 x i = x 0 + ih 1, i = 0, 1, 2, · · · , N1 yj = y 0 + ih 2, j = 0, 1, 2, · · · , N2 difference methods for BVP, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.14/50
TTwo dimension 对于方程的离散,我们分别用x和y方向的两阶中心差 商代替两阶偏导数,在节点(,j)上 2ul;+ 1-20121+ h ui 那么我们可以在(,j)节点得到五点差分格式 容易知道,五点差分格式的截断误差是 difference methods for BVP 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 15/50
Two dimension x y (i, j ) ∆ h uij = u i+1,j − 2 uij + u i − 1,j h 2 1 + ui,j+1 − 2 uij + ui,j − 1 h 2 2 (i, j ) − ∆ h uij = fij difference methods for BVP, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.15/50