微分方程数值解课件 陈文斌 May26,2003
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Cha ap ter 1 Variational methods 边值问题的解经常为某个范函F(u)的最大值(或最小值)。考虑一根拉紧的 弦,受到横向的力,且两端点固定,变形u(x)满足 dx2 f(x),0 (0)=()=0 弦的势能为W 其中右端第一部分为形变产生的能,第二部分为外力作的功。u的最终 位置应使得势能最小。可以证明对于所有分片连续可微函数v(x),且满 足v(0)=v(1)=0的函数中,微分方程的解u满足 (v)≥W(a) 考虑更小的一个函数空间En,E是独立的函数n1(x),t2(x),…,vn(x)张成 的空间,也就是E中的每个函数都可以表示成 Civil
Chapter 1 Variational Methods >¯K)²~,¼F(u)(½)"Ä.; u§Éîå§ üà:½§C/u(x)÷v − d 2u dx2 = f(x), 0 < x < l u(0) = u(l) = 0 u³UW: W(u) = 1 2 Z 1 0 du dx2 − Z 1 0 f(x)u(x)dx Ù¥mà1Ü©/C)U§1Ü© åõ"uª A¦³U"±y²éu¤k©¡ëY¼êv(x)§ ÷ vv(0) = v(1) = 0¼ê¥§©§)u÷v W(v) ≥ W(u) ļêmEn§En´Õá¼êv1(x), v2(x), . . . , vn(x)ܤ m§Ò´En¥z¼êѱL«¤ Xn i=1 civi(x) 1
对任何给定的{c},我们有 ct)≥W(a) i=1 我们选择c,使得左边最小化: O(∑=1cv) 我们得到 ∑a/ntd ∫(x)vk(x)dx,k=1,,n 求解出c,我们得到一个逼近解。对应逼近解的势能是 Civi 例如假设f(x)=sin(x)。我们用一项=C1n1(x),这里t1(x)=x(1-x)(满 足边界条件 Jo a(l-)sin rdc 12 因此 ==2x(1-x),W()= 注意到此时精确解和最小势能为 u==sina, w(u 我们可以看到近是u的一个近似。 11一个子空间最好的逼近 设M是 Hilbert空间H的一个有限维闭子空间。对于H中的任意一个元素f, 我们称M中的元素g最接近∫是指‖g-川最小。这样的g是唯一的,我们记 2
é?Û½{ci},·k W Xn i=1 civi ! ≥ W(u) ·ÀJci§¦>zµ ∂W ( Pn i=1 civi) ∂ck = 0, k = 1, . . . , n · Xn i=1 ci Z 1 0 v 0 k v 0 idx = Z 1 0 f(x)vk(x)dx, k = 1, . . . , n ¦)Ñci§·%C)u¯"éA%C)³U´ W(¯u) = w Xn i=1 civi ! ~Xbf(x) = sin(πx)"·^u¯ = c1v1(x),ùpv1(x) = x(1 − x)(÷ v>.^)" c1 = R 1 0 x(1 − x) sin πxdx R 1 0 (1 − 2x) 2dx = 12 π 3 Ïd u¯ = 12 π 3 x(1 − x), W(¯u) = −24 π 6 5¿d°()Ú³U u = 1 π 2 sin πx, W(u) = − 1 4π 2 ·±wu¯´uCq" 1.1 fmÐ%C M´HilbertmHk4fm"éuH¥?¿f§ ·¡M¥gCf´kg − fk"ùg´§·P 2
为Pf,这里P是到M上的投影算子。如果M中有正交基y1,…,9n,那么 容易知道 Pf <S, Pk>k 如果一组基1,v2,n不是正交的,我们也可以写P∫为 为了计算系数,我们注意到f-p∫与M正交,也与1,,tn正交。因此系 数ak可以唯一被决定 >=<f,v 为了求解关于{a}的方程,我们引入矩阵(by),这里b=<v;,v;>。显然 矩阵是对称的,而且由于{v}是线性无关的,矩阵是非奇异的。它的逆也 是对称的。因此 ∫,v 这里(c)是(b3)的逆矩阵。因此我们有 Pf G;<f, 投影算子P有一些基本的性质 ·P是对称的,对f,g∈H,成立<Pf,g>=<f,Pg> ·P是非负的,对f∈H,成立<Pf,f>≥0 3
P f§ùpP´MþÝKf"XJM¥kÄϕ1, . . . , ϕn§@o N´ P f = Xn k=1 < f, ϕk > ϕk XJ|Äv1, v2, . . . , vnØ´§·±P f P f = Xn k=1 akvk OX꧷5¿f − pfM§v1, . . . , vn"ÏdX êak±û½ Xn k=1 ak < vk, vj >=< f, vj >, j = 1, . . . , n ¦)'u{ak}§§·Ú\Ý (bij )§ùpbij =< vi , vj >"w, Ý ´é¡§ du{vi}´5Ã'§Ý ´ÛÉ"§_ ´é¡"Ïd ak = Xn j=1 cjk < f, vj > ùp(cij )´(bij )_Ý "Ïd·k P f = Xn i,j=1 cij < f, vi > vj ÝKfPk Ä 5µ • P´é¡§éf, g ∈ H,¤á< P f, g >=< f, P g > • P´K§éf ∈ H§¤á< P f, f >≥ 0 • P 2 = P • éf ∈ M,P f = f 3
1.2 Maximum Theorem 设算子A的定义域DA在H(H是复 Hilbert空间)中稠密。算子A在DA上是对 称正定的, <Au,0>=<u,Au>,a,∈DA <A >0,≠0∈D 考虑方程 f, ∈ 这里∫是H中的一个元素。 heorem.1方程最多只有一个解。 Theorem2(Mazimum Theorem)i (v)=<f,>+<v,f>-<Av,> 那么如果 Au= f 有一个解,那么u是D4中唯一一个最大化F的元素。相反地,如果存 在DA中的元素最大化F,那么它是方程的解。 考虑算子A=-亚,定义域DA为满足边界条件u()=(1)=0的连续两次 可微函数。容易证明在D4上A是对称正定的,且 F(v)=-2W(v) Theorem 3(Schwinger- Levine Principle) i R(u) < f <Av,>,≠0 那么R()和F()有同样最大值
1.2 Maximum Theorem fA½ÂDA3H(H´EHilbertm)¥È"fA3DAþ´é ¡½§ < Au, v >=< u, Av >, ∀u, v ∈ DA < Au, u >> 0, ∀u 6= 0 ∈ DA ħ Au = f, u ∈ DA ùpf´H¥" Theorem. 1 §õk)" Theorem. 2 (Maximum Theorem) F(v) =< f, v > + < v, f > − < Av, v > @oXJ Au = f k)§@ou´DA¥zF"/§XJ 3DA¥zF§@o§´§)" ÄfA = − d 2 dx2§½ÂDA÷v>.^u(0) = u(1) = 0ëYüg ¼ê"N´y²3DAþA´é¡½§ F(v) = −2W(v) " Theorem. 3 (Schwinger-Levine Principle) R(v) = | < f, v > | 2 < Av, v > , v 6= 0 @oR(v)ÚF(v)kÓ" 4