微积分思想的产生与发展历史 陈纪修 在微积分产生之前,数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量,而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆,而对 于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶,由于科学技术发展的需要 人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上,人们关心如何根据 路程函数去确定质点的瞬时速度,或者根据瞬时速度去求质点走过的 路程。在几何上,人们希望找到求一般曲线的切线的方法,并计算 般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是,不同领域的问题却归结为相 同模式的数学问题:求因变量在某一时刻对自变量的变化率;因变量 在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念;后者导致 了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪,中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述: “至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。”其中大一和小一就是 无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”更是 道出了无限分割的极限思想 公元3世纪,中国古代数学家刘徽首创的割圆术,即用无穷小分割 求面积的方法,就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形 的边长来逼近圆周,得到了 3.141024<丌<3.142704
微积分思想的产生与发展历史 陈纪修 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要， 人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据 路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的 路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一 般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相 同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量 在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致 了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 一．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述： “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是 无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是 道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割 求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形 的边长来逼近圆周，得到了 3.141024 3.142704
并深刻地指出:“割之弥细,所失弥少;割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣。 我国南北朝时期的数学家祖(中国古代数学家祖冲之之子)发 展了刘徽的思想,在求出球的体积的同时,得到了一个重要的结论(后 人称之为祖晅原理ˆ):“夫叠基成立积,缘幂势既同,则积不容异。 用现在的话来讲,一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的;若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同,那它们 的体积(“积”)必然相等 利用祖眶原理求球体的体积:取一个几何体为上半球体 x2+y2+2≤R2,z≥0};将圆柱体{x2+y2≤R2,0≤z≤R}减去(即挖 去)倒立的圆锥{x2+y2≤=2,0≤=≤R}视为另一个几何体。则对任意的 0≤z≤R,过(0,0,3)点作水平截面,得到的截口面积相等,都为 π(R2-x2),由此得到球体的体积为=mR3。 十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪,古希腊数学家安提丰( Antiphon)创立了“穷竭法”, 认为圆内接正多边形当边数不断增加,最后多边形就与圆相合。公元 前2世纪,古希腊数学家阿基米德( Archimedes)对“穷竭法”作出了 巧妙的应用,他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求拋物弓形的面 积,他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积, 这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中,阿基米德首 先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德 的著作代表了古希腊数学的顶峰
并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { , 0 2 2 2 2 x y z R z }；将圆柱体 { x y R , 0 z R 2 2 2 }减去（即挖 去）倒立的圆锥{ x y z , 0 z R 2 2 2 }视为另一个几何体。则对任意的 0 z R ，过 (0, 0, z) 点作水平截面，得到的截口面积相等，都为 ( ) 2 2 R z ，由此得到球体的体积为 3 3 4 V R 。 二．十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）创立了“穷竭法”， 认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元 前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对“穷竭法”作出了 巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面 积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积， 这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首 先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德 的著作代表了古希腊数学的顶峰
1615年,德国数学家开普勒( J. Kepler,1571-1630)用无穷小微元 来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形,圆周 上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底,于是 圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多面 体,球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底,于 是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方法 精确地计算岀酒桶的体积,并写了《测量酒桶体积的新科学》,书中 包含了87种不同的旋转体的体积计算。 开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律:(1)行星在 椭圆轨道上绕太阳运动,太阳在此椭圆的一个焦点上。(2)从太阳 到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。(3)行星绕太阳公 转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文 学上划时代的贡献,也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普 勒的行星运行三大定律,通过严格的数学推导,发现了万有引力定律。 为了确定第二定律, Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多 小的“扇形”,并近似地将它们看成一个个小的三角形,运用了一些出 色的技巧对它们的面积之和求极限,成功地计算出了所扫过的面积。 在其卓有成效的工作中,已包含了现代定积分思想的雏形 积分学的历史可追溯至古希腊,它跨越了二千多年历史。而微分 学的历史相对要短得多,这是因为积分学研究的问题是静态的,而微 分学研究的问题是动态的,它涉及到运动。直到17世纪,微分学才得 到重大突破。微分学主要来源于两个问题的研究:曲线的切线问题与
1615年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微元 来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆周 上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于是 圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多面 体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底，于 是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方法 精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书中 包含了87种不同的旋转体的体积计算。 开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律：（1）行星在 椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（2）从太阳 到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。（3）行星绕太阳公 转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文 学上划时代的贡献，也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普 勒的行星运行三大定律，通过严格的数学推导，发现了万有引力定律。 为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多 小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角形，运用了一些出 色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出了所扫过的面积。 在其卓有成效的工作中，已包含了现代定积分思想的雏形。 积分学的历史可追溯至古希腊，它跨越了二千多年历史。而微分 学的历史相对要短得多，这是因为积分学研究的问题是静态的，而微 分学研究的问题是动态的，它涉及到运动。直到17世纪，微分学才得 到重大突破。微分学主要来源于两个问题的研究：曲线的切线问题与
函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马(P. Fermat,1744-1825) 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时,都是 先对自变量取增量,再让增量趋于零,这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作,如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗(L Barrow,1630-1677),他是牛顿的老师,是剑桥大学卢卡斯讲座教授, 后来他认为牛顿已经超过了他,就把这一讲座教授的位置让给了牛顿。 他在《光学和几何学讲义》一书中,已经把求曲线的切线与求曲线下 区域的面积问题联系了起来,也就是说,他把微分学和积分学的两个 基本问题联系了起来。但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下进 步深入地研究它们。 牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立,归功于两位伟大的科学先驱:牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到,过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算,是彼此互逆的两个过程,它们是由牛顿一莱布尼兹公式联系起来 的 1669年英国大数学家牛顿(I. Newton,1643-1727)提出微积分学 说存在正反两个方面的运算,例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算,即微分和积分互为逆运算,从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因,他决定不向外界公开他的数学成果,他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅,而这一决定在以后
函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马（P. Fermat, 1744-1825） 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时，都是 先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗（I. Barrow, 1630-1677），他是牛顿的老师，是剑桥大学卢卡斯讲座教授， 后来他认为牛顿已经超过了他，就把这一讲座教授的位置让给了牛顿。 他在《光学和几何学讲义》一书中，已经把求曲线的切线与求曲线下 区域的面积问题联系了起来，也就是说，他把微分学和积分学的两个 基本问题联系了起来。但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下进一 步深入地研究它们。 三．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算，是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来 的。 1669年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算，例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅，而这一决定在以后
给他带来了大麻烦。直到1687年,牛顿才出版了他的著作《自然哲学 的数学原理》,在这个划时代的著作中,他陈述了他的伟大创造一微 积分,并应用微积分理论,从开普勒关于行星的三大定律导出了万有 引力定律。牛顿还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学科 充分显示了微积分理论的巨大威力。 牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。英国著名诗人波普(Pope) 是这样描述牛顿的 自然和自然的规律 沉浸在一片混沌之中 上帝说,生出牛顿 一切都变得明朗。 牛顿本人却很谦虚:‘我不知道世间把我看成什么人,但是对我自 己来说,就象一个海边玩耍的小孩,有时找到一块比较平滑的卵石或 格外漂亮的贝壳,感到高兴,而在我面前是未被发现的真理的大海 德国数学家莱布尼兹(G.W. Leibniz,1646-1716)也致力于研究切线 问题和面积问题,并探索两类问题之间的关系。他把有限量的运算与 无穷小量的运算进行类比,创立了无穷小量求商法和求积法,即微分 和积分运算。1684年,他发表了论文《求极大值和极小值以及切线的 新方法,对有理量和无理量都适用的,一种值得注意的演算》,两年 后他又发表了他在积分学上的早期结果 牛顿和莱布尼兹对微积分的研究都达到了同一目标,但两人的方 法不同。牛顿发现最终结果比莱布尼兹早一些,但莱布尼兹发表自己
给他带来了大麻烦。直到1687年，牛顿才出版了他的著作《自然哲学 的数学原理》，在这个划时代的著作中，他陈述了他的伟大创造—微 积分，并应用微积分理论，从开普勒关于行星的三大定律导出了万有 引力定律。牛顿还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学科， 充分显示了微积分理论的巨大威力。 牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。英国著名诗人波普（Pope） 是这样描述牛顿的： 自然和自然的规律 沉浸在一片混沌之中， 上帝说，生出牛顿， 一切都变得明朗。 牛顿本人却很谦虚：“我不知道世间把我看成什么人，但是对我自 己来说，就象一个海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或 格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前是未被发现的真理的大海。” 德国数学家莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716) 也致力于研究切线 问题和面积问题，并探索两类问题之间的关系。他把有限量的运算与 无穷小量的运算进行类比，创立了无穷小量求商法和求积法，即微分 和积分运算。1684年，他发表了论文《求极大值和极小值以及切线的 新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》，两年 后他又发表了他在积分学上的早期结果。 牛顿和莱布尼兹对微积分的研究都达到了同一目标，但两人的方 法不同。牛顿发现最终结果比莱布尼兹早一些，但莱布尼兹发表自己