数学,你究竟是什么? 张荫南 数学,你究竟是什么?这是停留在数学系的老师、学生心中 的一个看似容易,其实并不简单的问题。对于毕生都与数学 打交道的人来说,更是挥之不去地想弄个明白的心愿。大量 的学术著作致力于这个目标,给出了很好的对数学的描述 但似乎还是有很多事情值得我们去探求,去思索。 符号思维是人类文明的要素之一。 纵观几千年的人类文明史可以发现所谓文明的进步也就是 人类的思维活动水平和能力的进化。正是后者的推动才造就 了各个阶段人类社会物质文明的飞跃。我们如何进行思维、 想象和创造? 语言应是这些心灵活动的基本工具。要用语言将感知的事情 说出来,写成文字,进行交流。慢慢地模糊的思想将变得清 楚而有条理,吸引我们去思考和创造。另外,富于直观的图 形、打动心灵的音符也是我们进行思索的重要形式。艺术家 手中画笔,音乐大师的不朽乐章,同样是表达内心的感受, 启发思维灵感的重要途径。当大家阅读和欣赏莎士比亚、贝 多芬、达芬奇的不朽名著时,除了感受到这些璀璨群星所代 表的人类形象思维的高度之外是否想过还有其它形式的思 维活动?
1 数学，你究竟是什么？ 张荫南 数学，你究竟是什么？这是停留在数学系的老师、学生心中 的一个看似容易，其实并不简单的问题。对于毕生都与数学 打交道的人来说，更是挥之不去地想弄个明白的心愿。大量 的学术著作致力于这个目标，给出了很好的对数学的描述。 但似乎还是有很多事情值得我们去探求，去思索。 符号思维是人类文明的要素之一。 纵观几千年的人类文明史可以发现所谓文明的进步也就是 人类的思维活动水平和能力的进化。正是后者的推动才造就 了各个阶段人类社会物质文明的飞跃。我们如何进行思维、 想象和创造？ 语言应是这些心灵活动的基本工具。要用语言将感知的事情 说出来，写成文字，进行交流。慢慢地模糊的思想将变得清 楚而有条理，吸引我们去思考和创造。另外，富于直观的图 形、打动心灵的音符也是我们进行思索的重要形式。艺术家 手中画笔，音乐大师的不朽乐章，同样是表达内心的感受， 启发思维灵感的重要途径。当大家阅读和欣赏莎士比亚、贝 多芬、达芬奇的不朽名著时，除了感受到这些璀璨群星所代 表的人类形象思维的高度之外是否想过还有其它形式的思 维活动？
人类在进行思维时,使用的最基本的元素是概念和想法。文 学、艺术、音乐的思维中要用很复杂的形式去表达它们,例 如,用陈述性的句子去描写某一概念。这样的表达虽有生动, 直观之优点,但是却不利于进行精确和高效的思考,所得结 论也没有一个通用的表达形式,尤其要指出的是,思维方式 的成果难以进行移植。实际上,人类在漫长的进化过程中, 除了形成形象思维的能力外,还具有了符号思维的能力。我 们利用符号去表达思维过程中所涉及的诸多元素,建立和规 定符号之间的各种关系,进一步确定符号的逻辑,这样就可 以脱离具体的内容,组织大脑的符号逻辑思考运动,推出各 种用符号表达的结论,进而达到认识丰富多彩的外部世界之 符号思维的最光辉的典范之一就是阿拉伯数字的发明和应 用。我们通过十个符号,加上正负号,小数点记号和进位制, 构建了阿拉伯数系。它可用于对世界上的各种具体的对象进 行计量。这些符号之间有四则运算和大小的比较法则。在此 基础上产生了复式薄记法和进行商业活动的各种计算法。可 以说阿拉伯数字造就了人类文明的产生和现代商业社会的 发展 用数字表达各种具体对象的数量无疑是一大进步,人们可以 只与数字打交道而不必考虑它的具体含义,思考与计算的效 率大为提高。同时,这项工作也有可能用机器来实现。从中
2 人类在进行思维时，使用的最基本的元素是概念和想法。文 学、艺术、音乐的思维中要用很复杂的形式去表达它们，例 如，用陈述性的句子去描写某一概念。这样的表达虽有生动， 直观之优点，但是却不利于进行精确和高效的思考，所得结 论也没有一个通用的表达形式，尤其要指出的是，思维方式 的成果难以进行移植。实际上，人类在漫长的进化过程中， 除了形成形象思维的能力外，还具有了符号思维的能力。我 们利用符号去表达思维过程中所涉及的诸多元素，建立和规 定符号之间的各种关系，进一步确定符号的逻辑，这样就可 以脱离具体的内容，组织大脑的符号逻辑思考运动，推出各 种用符号表达的结论，进而达到认识丰富多彩的外部世界之 目的。 符号思维的最光辉的典范之一就是阿拉伯数字的发明和应 用。我们通过十个符号，加上正负号，小数点记号和进位制， 构建了阿拉伯数系。它可用于对世界上的各种具体的对象进 行计量。这些符号之间有四则运算和大小的比较法则。在此 基础上产生了复式薄记法和进行商业活动的各种计算法。可 以说阿拉伯数字造就了人类文明的产生和现代商业社会的 发展。 用数字表达各种具体对象的数量无疑是一大进步，人们可以 只与数字打交道而不必考虑它的具体含义，思考与计算的效 率大为提高。同时，这项工作也有可能用机器来实现。从中
国的算盘、古代的计算器到现代的电脑都源于这项数字符号 的应用 但是上述符号化的进程并未止步于阿拉伯数字。我们进一步 用字母符号x,y,a,b,c等代表各种具体的数字,这种符号化 的结果产生变量的概念。从此可书写出各种公式,例如,多 项式,代数方程式等。专门研究符号学的代数也开始应运而 生 变量之间是有相互依赖关系的,其中我们常常遇到的关系也 能符号化,这就是函数,例如, 一元函数y=f(x), 多元函数y=f(x1,x2,…,xn) 都是变量关系的符号化。走出了这一步后,才可能研究变量 的増量分析,借助于极限的思维方式,人类发明了微积分 这时函数的符号又衍生出新的符号,例如导函数,偏导数, 微分形式。它们之间有和谐统一的符号运算律和必然的逻辑 规律。通过这种符号逻辑的推演,我们的思维水平大大提高 了。试问,如果没有对 Maxwell方程的研究,我们对电磁场 理论的了解能达到现在的程度吗?你能想象电气化时代和 现代信息社会的来临吗? 总之,符号思维是人类思维的基本形式之一,它是人类文明 的必不可少的构成要素。数学就是研究、创造、发展符号思 维的科学
3 国的算盘、古代的计算器到现代的电脑都源于这项数字符号 的应用。 但是上述符号化的进程并未止步于阿拉伯数字。我们进一步 用字母符号 x,y,a,b,c 等代表各种具体的数字，这种符号化 的结果产生变量的概念。从此可书写出各种公式，例如，多 项式，代数方程式等。专门研究符号学的代数也开始应运而 生。 变量之间是有相互依赖关系的，其中我们常常遇到的关系也 能符号化，这就是函数，例如， 一元函数 y = f(x), 多元函数 y = f(x1, x2, ⋯ , xn) , 都是变量关系的符号化。走出了这一步后，才可能研究变量 的增量分析，借助于极限的思维方式，人类发明了微积分。 这时函数的符号又衍生出新的符号，例如导函数，偏导数， 微分形式。它们之间有和谐统一的符号运算律和必然的逻辑 规律。通过这种符号逻辑的推演，我们的思维水平大大提高 了。试问，如果没有对 Maxwell 方程的研究，我们对电磁场 理论的了解能达到现在的程度吗？你能想象电气化时代和 现代信息社会的来临吗？ 总之，符号思维是人类思维的基本形式之一，它是人类文明 的必不可少的构成要素。数学就是研究、创造、发展符号思 维的科学
沿着这条线索前进,我们可以对数学家的工作,数学分支的 产生和发展,现代数学潮流等诸多问题进行一些有趣的讨论。 数学家在做些什么? 数学家就是致力于发展和推进人类符号思维能力的人 他们不断地创造各种新的符号体系或者改造和扩充原有的 符号以对付在人类社会发展进程中,科学技术进步和科学探 求深入时,我们要精确地表达新的对象并进行深入思考的需 求。这就是问题的数学加工。科学研究的第一步是要将问题 说清楚,问题的符号表述是至关重要的。当然这只是一个开 始。发现相应的符号思维逻辑和推理方法是更具有挑战性的 工作。分析这个过程是很有趣的。科学问题来自于现实生活, 它包含的各个方面有着自身固有的关系与逻辑。这是推动我 们思考的潜在原动力。黑格尔曾说过,“存在的就是合理的” 合理的东西中一定包含其内在的逻辑,它必定会寻求表达形 式和基础。只不过,可能我们尚不知道它相应的符号逻辑是 什么。例如,心理学就是尚未找到它的符号逻辑的学科,可 能就在这里存在着发展数学的大机会!当数学家们试图用符 号思维去理解和研究各种新的对象时,常常会身处矛盾之中, 可能会发现我们已掌握的符号逻辑推演方法不完全能解决 问题,或者感到困惑莫解,其实这时,数学家已站在打开新
4 沿着这条线索前进，我们可以对数学家的工作，数学分支的 产生和发展，现代数学潮流等诸多问题进行一些有趣的讨论。 数学家在做些什么？ 数学家就是致力于发展和推进人类符号思维能力的人。 他们不断地创造各种新的符号体系或者改造和扩充原有的 符号以对付在人类社会发展进程中，科学技术进步和科学探 求深入时，我们要精确地表达新的对象并进行深入思考的需 求。这就是问题的数学加工。科学研究的第一步是要将问题 说清楚，问题的符号表述是至关重要的。当然这只是一个开 始。发现相应的符号思维逻辑和推理方法是更具有挑战性的 工作。分析这个过程是很有趣的。科学问题来自于现实生活， 它包含的各个方面有着自身固有的关系与逻辑。这是推动我 们思考的潜在原动力。黑格尔曾说过，“存在的就是合理的”。 合理的东西中一定包含其内在的逻辑，它必定会寻求表达形 式和基础。只不过，可能我们尚不知道它相应的符号逻辑是 什么。例如，心理学就是尚未找到它的符号逻辑的学科，可 能就在这里存在着发展数学的大机会！当数学家们试图用符 号思维去理解和研究各种新的对象时，常常会身处矛盾之中， 可能会发现我们已掌握的符号逻辑推演方法不完全能解决 问题，或者感到困惑莫解，其实这时，数学家已站在打开新
世界的门口了!量子物理与数学的恩怨情仇提供了很好的佐 伟大的数学家冯·诺意曼很生动地刻画出新数学诞生的过程。 他说:“这一起始阶段必然是试探性的,即从非数学的貌似 合理的想法向正式的数学过程转变。最后确定的理论必须具 有数学的严密性和概念的一般性。我们必须将其首先应用于 对一些基本问题的解释中,这些问题的答案是人们从未怀疑 过的,而且是不需要借助理论解释就可以获得的。在早期阶 段,应用是为了使这一理论更加准确。当理论应用于较为复 杂的情况时,会在一定程度上超出我们熟悉的范围,并变得 不那么易于理解,这时,我们就进入了另一个阶段。在这里 理论和应用验证相互促进。这一阶段之后才是真正的成功 真正根据理论做出预测。” 随着人类社会的发展,符号思维也在不断地进化之中,现在 它已具有丰富的内容,众多的分支,长期发展过程中积累了 丰富的成果。数学家们在一个领域做出的杰出贡献常会在另 个领域以出乎意料的形式得到发扬光大。一个训练有素, 视野宽广,思想活跃的数学家更有机会去发展已有的符号逻 辑,去做出全新的工作 在数学的内部亦包含着驱使它向前进化的巨大原动力。同 个对象可通过不同的符号逻辑去表达和研究它,最后产生出 新的符号逻辑,例如,代数几何、代数数论、几何分析就是
5 世界的门口了！量子物理与数学的恩怨情仇提供了很好的佐 证。 伟大的数学家冯∙诺意曼很生动地刻画出新数学诞生的过程。 他说：“这一起始阶段必然是试探性的，即从非数学的貌似 合理的想法向正式的数学过程转变。最后确定的理论必须具 有数学的严密性和概念的一般性。我们必须将其首先应用于 对一些基本问题的解释中，这些问题的答案是人们从未怀疑 过的，而且是不需要借助理论解释就可以获得的。在早期阶 段，应用是为了使这一理论更加准确。当理论应用于较为复 杂的情况时，会在一定程度上超出我们熟悉的范围，并变得 不那么易于理解，这时，我们就进入了另一个阶段。在这里 理论和应用验证相互促进。这一阶段之后才是真正的成功： 真正根据理论做出预测。” 随着人类社会的发展，符号思维也在不断地进化之中，现在 它已具有丰富的内容，众多的分支，长期发展过程中积累了 丰富的成果。数学家们在一个领域做出的杰出贡献常会在另 一个领域以出乎意料的形式得到发扬光大。一个训练有素， 视野宽广，思想活跃的数学家更有机会去发展已有的符号逻 辑，去做出全新的工作。 在数学的内部亦包含着驱使它向前进化的巨大原动力。同一 个对象可通过不同的符号逻辑去表达和研究它，最后产生出 新的符号逻辑，例如，代数几何、代数数论、几何分析就是