复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（课堂讲义）椭圆型方程有限元方法

椭圆型方程有限元方法 微分方程数值解 陈文斌 (wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学数学系 2004年

椭圆型方程有限元方法 陈文斌 （wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学数学系 2004年 －微分方程数值解

PDE模型 Laplacian算子: 020 0202a △ 2 xX Poisson方程( elliptic) 边值问题 △L= laplacian算子的特征值问题:△+n=f Heat equation(parabolic) 0L△L at 初边值问题 Wave equation(hyperbolic)

PDE 模型 2 2 2 2 x y       Laplacian 算子： Poisson方程（elliptic）： u  f Laplacian 算子的特征值问题: u  u  f Heat equation(parabolic): u t u     Wave equation(hyperbolic): u t u     2 2 初边值问题 边值问题 2 2 2 2 2 2 x y z         

PDE解和数值解 Poisson方程 △ 分部积分 变分问题 alu, v)=f(v Rtz- Galerkin过程 离散变分问题a(lb2v)=f(vn) 有限维基上表示 线性代数问题 Au= F 快速算法 方程求逆 u=aF h-version有限元方法是一种特殊的Ritz- Galerkin 方法,它的基函数选取分片多项式空间

PDE解和数值解 Poisson方程 －u  f 变分问题 a(u, v)  f (v) 离散变分问题 ( , ) ( ) h h h a u v  f v Ritz-Galerkin过程 分部积分 线性代数问题 Au  F  有限维基上表示 方程求逆 u  A \ F  快速算法 h-version 有限元方法是一种特殊的Ritz-Galerkin 方法，它的基函数选取分片多项式空间

两点边值问题有限元方法 (Pp=)+P=f,x∈ (0)=(1)=0 变分问题:在H0()空间中找一个函数u使满足 a(,v)=f(v),vv∈H0() du dy a()=P truv dx dx dx f(v)=fix

两点边值问题有限元方法 ru f x I dx du p dx d － ( )   ,  u(0)  u(1)  0 ( , ) ( ), ( ) 1 0 a u v  f v v  H I 变分问题: 在 ( ) 空间中找一个函数u,使满足 1 0 H I          1 0 ( , ) ruv dx dx dv dx du a u v p   1 0 f (v) fvdx

两点边值问题有限元方法 0.25 剖分单元K|K=[x2Ax,] 剖分步长hh=maxh 0.05 区域剖分 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x 0 两点边值问题有限元方法 区域剖分 i x i  i  i1 h x x i h  max h 剖分单元K [ , ] i i 1 i K x x   剖分步长h