dx (1-e-)+(2 (1-e2)2 (5)当x<0,y>0时f(x|y)=0:当x>0,y>0时有 f(x Ly) f(x,y)2e-(2x+ f2(y) (6)P{<1}= ∫d2-1”=Ced∫2-hk=-c=1-c 2e-(2x+y) 利用(2)的结果可得 P<2n<12=P211=0-Xe) P{<l} 1-e 16、解:作变换,令x-a= ocos e,y-b=psnb,则|J}=p椭圆区域为 2 cos-2rsin 0 cos0+sin 9=2 s20 2rsin 0 cos 0 0,0. 则p=λ/s,且 P{(5,m)∈D()}= der。2xs3 2(1-r de S 1-e 21G2 当→时,P(5m)∈DA)→,由此得∫。= TOT 17、证:设多项分布为 P{1=k…,=k=;划 (1) k.≥0 =n,∑P1=1 (2) 利用(2)可以把(1)改写成
− − − − − + = − − 2 0 2 (2 ) 2 0 2 (2 ) 2e (1 e dx (2e 2e dx x x x x 4 4 2 4 2 2 2 (1 ) (2 2 ) 1 2 (1 ) − − − − − − = − e + e − e = + e − e = − e . （5）当 x 0, y 0 时 f (x | y) = 0 ；当 x 0, y 0 时有 x y x y e e e f y f x y f x y 2 (2 ) 2 2 ( ) ( , ) ( | ) − − − + = = = . （6） P dy e dx x y − + = 0 (2 ) 1 0 { 1} 2 1 1 0 0 (2 ) 1 0 2 1 − − − − + = = − = − e dy e dx e e y x y y , 利用（2）的结果可得 1 4 1 1 (1 )(1 ) 1 2, 1 2, 1 − − − − − − = = e e e P P P 4 1 − = − e . 16、解：作变换，令 x − a = cos, y − b = sin ，则 | J |= 椭圆区域为 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 cos 2 sin cos sin = − + r 记 2 2 2 2 1 2 2 1 2 cos 2 sin cos sin s r − + = 则 = / s ，且 − − − = x s S r d e d r P D 2 0 0 2(1 ) 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 {( , ) ( )} e d S r r S x r S 0 2 0 2(1 ) 2 2 2 1 2 2 2 2 (1 ) 2 1 1 − − − − − = − − = − − 2 0 2 2(1 ) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 d S e r r 当 → 时， P{(,) D()} →1 ，由此得 − = 2 0 2 1 2 2 1 1 2 r d S 。 17、证：设多项分布为 r k k r r r p p k k n P k k 1 1 1 1 1 1 ! ! ! { , , } = = = ， （1） = = = = r i i r i ki ki n p 1 1 0, , 1。 （2） 利用（2）可以把（1）改写成 P{1 = k1 , , r−1 = kr−1 } =
k!…k1(n-k1 p…D×(1-p1-…-p1) 由边际分布的定义并把(3)代入得 1=kt1…,5-1=k-1} np…p2 (n-k1-…-k-2)! (1-P P=2P1) 由二项式定理得 P{51=k1;…,2=k,-2}= P P 把(4)与(3)比较知,边际分布仍服从多项分布。多次类推可得 P{51=k1}= k1!(n-k1) p4(1-p) 从而知任意边际分布均服从多项分布(包括二项分布)。 18、解:(1)5的密度函数为,当x≤0时p2(x)=0:当x>0时,注意积分取胜有选 取,得 P:(x)=」p(x,y)d x-(y-x)d(令y-x=1) T(k,r(k2) dt r(k1)r(2)0 r(k1) (2)m的密度函数为,当y≤0时pn(y)=0;当y>0时, P,()=p(x,y)dx T(hr(k,) 令x=y,当x=0时t=0,当x=y时t=1,所以 p,() k1-1,k2-1 r(k1)I(k2) B(k1,k2)= e- T(k,r(k,) r(k1)I(k2) T(k,r(k) T(,+k,) r(k1+k2)
1 1 1 (1 ) ! !( )! ! 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − = r r n k k r k k r r p p p p k k n k k n （3） 由边际分布的定义并把（3）代入得 { , , } { , , } 1 1 1 1 , 0 1 1 2 2 1 1 1 1 − − + + = − = − = = = − − − r r k k n k k r r P k k P k k r r r − − − − − − − − − = − − − − − − = − − − − − − − 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 !( )! ( )! ! !( )! ! r r r r n k k k k r r r r r r k r k p k n k k n k k k k n k k n p p 1 1 (1 ) 1 2 1 − − − − − − − − − r n k k p pr pr 由二项式定理得 P{1 = k1 , , r−2 = kr−2 } = 1 2 1 2 (1 ) ! !( )! ! 1 2 1 2 1 2 1 2 n k k r k r k r r p p p p k k n k k n r − − − − − − − − − − − − − = − （4） 把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得 1 1 (1 ) !( )! ! { } 1 1 1 1 1 1 k n k p p k n k n P k − − − = = 从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。 18、解：（1） 的密度函数为，当 x 0 时 p (x) = 0 ；当 x 0 时，注意积分取胜有选 取，得 − − − − − − = = − x k k y x y x dy y x k k p x p x y dy ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) ( , ) 1 1 1 2 1 2 令 = = − − − − t e e dt k x k x t k 0 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) x k e k x − − ( ) 1 1 1 . （2） 的密度函数为，当 y 0 时 p ( y) = 0 ；当 y 0 时， − − − − − = − y x k k y x y x dx k k p y p x y dx 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( , ) 令 x = yt ，当 x = 0 时 t = 0 ，当 x = y 时 t =1 ，所以 y y t t ydt k k e p y k k k k y 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 (1 ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 k k k k k k y e B k k k k y e k k y k k y + = = + − − + − − k k y y e k k + − − + 1 1 1 2 2 ( ) 1
其中用到β-函数与r一函数的关系式 19、证:我们有 0≤F(x1)≤1,1≤2f(x1)-1≤2-1=1, l≤[2F1(x1)-112F2(x2)-12F3(x2)-1 代入∫(x12x2,x3)的表达式得 f(x1,x2x3)≥0 (1) 又有 ∫p2F(x)-1(x)=p2F(x)-1]F(x)=F(x)-F(x)=0 face, x2xs)dx 由(1),(2)知f(x1,x2,x3)是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数 为 JSacx,x2, x, )dx,dx=f(x,), 5a(x, x2, x, )dx, dx2=S,(x,) ∫(x,x2,x),=f(x) 20、解: (1)为求(,5)的联合概率分布,分别考虑下列三种情况:(i,k≥1)其中利用到独立性 (a)i=k P{=.=k}=PU=kn=川=∑P5=kn= ∑p2q=2=pi pg-(1-q) (b)i<k P{5=k,=l}=P{=1,n=k}=p2q 1+k-2 (c)i>k {=k,5=t}=φ,P{5=k,5=i}=0 2)因为=max(,n),所以 5=k}=U{5=,n=UU=k,= P=k=∑P5=1,=+∑P=k,n==∑pq*2+∑pq42 q p q g-g)pq
其中用到 − 函数与 −函数的关系式。 19、证：我们有 0 Fi (xi ) 1, 1 2 f i (xi ) −1 2 −1 =1, −1 [2F1 (x1 ) −1][2F2 (x2 ) −1][2F3 (x3 ) −1] 1, 代入 ( , , ) 1 2 3 f x x x 的表达式得 ( , , ) 1 2 3 f x x x 0 (1) 又有 − i i − i i dxi 2F (x ) 1 f (x ) − = 2 ( ) −1 ( ) i i i i F x dF x ( ) ( ) 0 2 = 1 − = − i i i F x F x 1 2 3 1 2 3 f (x , x , x )dx dx dx − − − = f 1 (x1 )dx1 f 2 (x2 )dx2 f 3 (x3 )dx3 = 1 (2) 由（1），（2）知 ( , , ) 1 2 3 f x x x 是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数 为 ( , , ) ( ) 1 2 3 2 3 1 1 f x x x dx dx = f x , ( , , ) ( ) 1 2 3 1 2 3 3 f x x x dx dx = f x ( , , ) ( ) 1 2 3 1 3 2 2 f x x x dx dx = f x . 20、解： （1）为求 ( , ) 的联合概率分布，分别考虑下列三种情况： (i, k 1) 其中利用到独立性。 （a） i = k { , } ( , ) { , } 1 1 P k k P k j P k j k j k j = = = = = = = = = = (1 ) 1 2 1 1 1 1 2 2 k k k k k j k j pq q q q p q p q = − − − = = − − = + = ； (b) i k 2 1 2 { , } { , } + − = = = = = = k P k i P i k p q ； (c) i k { = k, = i} = , P{ = k, = i} = 0 (2)因为 = max(,) ，所以 1 1 1 { } { , } { , } − = = = = = = = = k i k j k i k k j { } { , } { , } 1 1 1 P k P i k P k j k j k i = = = = + = = = − = = + − − = + − = + k j k j k i k p q p q 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 (2 ) 1 1 1 1 − − − − = − − − − + − − = k k k k k k q q pq q q q q p q (k = 1,2, )