(P,P,…,P)= 1-2-4 500 5.设方阵A=-2x-2与A=0y0相似,求xy 00-4 解方阵A与A相似,则A与A的特征多项式相同,即 2 415-元0 0 A-E=A-E→ 24= x-1 2 0y-元0 21-40 0 6.设A,B都是n阶方阵,且4≠0,证明AB与BA相似 证明4≠0则A可逆 A(AB)A=(-A)(BA)=BA则AB与BA相似 7.设3阶方阵A的特征值为λ1=1,2=0,3=-1;对应的特征向量 依 次为 2,P2 2,P 求A. 解根据特征向量的性质知(P,P,P)可逆 得:(P,P2,P3)A(P,P2,P) 12 n 3 n 可得A=(P,P2,P)2(P,P,P) 13
6 ( ) − − = 1 2 1 1 2 1 2 0 0 , , , a a a a a a a P P P n n n 5．设方阵 − − − − − − = 4 2 1 2 2 1 2 4 A x 与 − = 0 0 4 0 0 5 0 0 y 相似，求 x, y . 解 方阵 A 与 相似，则 A 与 的特征多项式相同，即 A − E = − E − − − − − − − − − 4 2 1 2 2 1 2 4 x − − − − = 0 0 4 0 0 5 0 0 y = = 5 4 y x ． 6．设 A,B 都是 n 阶方阵，且 A 0 ，证明 AB 与 BA 相似． 证明 A 0 则 A 可逆 A AB A = A A BA = BA − − ( ) ( )( ) 1 1 则 AB 与 BA 相似． 7．设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 = 1,2 = 0,3 = −1 ；对应的特征向量 依 次为 = 2 2 1 P1 ， = − 1 2 2 P2 ， − − = 2 1 2 P3 求 A. 解 根据特征向量的性质知 ( , , ) P1 P2 P3 可逆, 得: = − 3 2 1 1 2 3 1 1 2 3 ( , , ) ( , , ) P P P A P P P 可得 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 ( , , ) ( , , ) − A = P P P P P P
102 得A 012 22 8.设3阶对称矩阵A的特征值6,3,3,与特征值6对应的特征向量 为 P=(1,1,1),求A xx, x 解设A X x +x,+x3=6 由 知①{x2+ x,+x。+x=6 3是A的二重特征值根据实对称矩阵的性质定理知A-3E的秩为1, 故利用①可推出x2x-3x 秩为1. 则存在实的a,b使得② (1,1)=a(x2x4-3,x5)成立 (1,1,1)=b(x3,x5,x6-3) 由①②解得x2=x3=1,x1=x1=x6=4,x5=1. 411 得A=14 9.试求一个正交的相似变换矩阵将下列对称矩阵化为对角矩阵: 20 22-2 (2)25-4 2-45 2-元-20 解(1)A-E=-21--2=(1-4)(2-4)+2) 故得特征值为1=-2,2=1,3=4
7 得 − = 2 2 0 0 1 2 1 0 2 3 1 A 8．设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 6，3，3，与特征值 6 对应的特征向量 为 (1,1,1) 1 T P = ,求 A. 解 设 = 3 5 6 2 4 5 1 2 3 x x x x x x x x x A 由 = 1 1 1 6 1 1 1 A ，知① + + = + + = + + = 6 6 6 3 5 6 2 4 5 1 2 3 x x x x x x x x x 3 是 A 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知 A − 3E 的秩为 1， 故利用①可推出 − − − − − 3 3 1 1 1 3 3 3 3 5 6 2 4 5 3 5 6 2 4 5 1 2 3 ~ x x x x x x x x x x x x x x x 秩为 1. 则存在实的 a,b 使得② = − = − (1,1,1) ( , , 3) (1,1,1) ( , 3, ) 3 5 6 2 4 5 b x x x a x x x 成立． 由①②解得 x2 = x3 = 1, x1 = x4 = x6 = 4, x5 = 1． 得 = 1 1 4 1 4 1 4 1 1 A ． 9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1) − − − − 0 2 0 2 1 2 2 2 0 ; (2) − − − − 2 4 5 2 5 4 2 2 2 ． 解 (1) − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (1 − )( − 4)( + 2) 故得特征值为 1 = −2,2 = 1,3 = 4．