Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU Const y|2l2|3.2 4·3c (n+2(n+1)cn y 2.10 n(n-D)c IC 2 2 l(+1)y|(+1)col+1|l(+1)c2 l(+1)c lc2+/(+1)co=0 (-D(+ x:3·2c3-2lc1+l(l+1)c1=0, 得c3 -)+2 3·2 CI (2-1)(+3) x2:4·3c4-2lc2-22c2+ll+1l2=0,得 4.3 (2-1(-+1)+3) 5·4c5-3·2c3-2·3c3+l(+1)cs3=0,得 x": (n+2)(n+1)cn+2-n(n-1)c,, +1(+1)c,=0, recurrence relations (n+2)(n+ 特别注意:cn2x(n-) 第四步:由递推公式求出偶次幂项的系数c2k与co之间以及奇次幂项的系数 C2k与c1之间的关系式,于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数 (2k-2-1)(+2k-1) (2k)(2k-1) 2k-2-1)(2k-4-1)(+2k (2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3) (2k-2-)(2k-4-1)()(+)(+2k-3)(+2k-1 6
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 6 Const. x 2 x … n x … y 2 1 2 c 3 2 3 c 4 3 4 c … 2 ( 2)( 1) + + n+ n n c … − x y 2 2 1 2 − c … n − n(n −1)c … − 2xy 2 1 1 − c 2 − 2 2c … − 2nc1 … l(l +1) y 0 l(l +1)c 1 l(l +1)c 2 l(l +1)c … n l(l +1)c … 0 2 0 x c l l c : 2 1 ( 1) 0 + + = ， 得 ( )( ) 2 0 2 1 1 c l l c − + = ; 1 3 1 1 x c c l l c : 3 2 2 1 ( 1) 0 − + + = ， 得 ( )( ) 3 1 3 2 1 2 c l l c − + = ; 2 4 2 2 2 x c c c l l c : 4 3 2 1 2 2 ( 1) 0 − − + + = ，得 ( )( ) ( )( )( )( ) 0 4 2 4! 2 1 3 4 3 2 3 c l l l l c l l c − − + + = − + = 3 5 3 3 3 x c c c l l c : 5 4 3 2 2 3 ( 1) 0 − − + + = ， 得 ( )( ) ( )( )( )( ) 1 5 3 5! 3 1 2 4 5 4 3 4 c l l l l c l l c − − + + = − + = … … 2 : ( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0 n n n n n x n n c n n c nc l l c + + − − − + + = + ，得 recurrence relations ( )( ) ( )( ) n n c n n n l l n c 2 1 1 2 + + − + + + = . 特别注意： 2 ( ) . n n c n l c + − 第四步：由递推公式求出偶次幂项的系数 k c2 与 0 c 之间以及奇次幂项的系数 2k+1 c 与 1 c 之间的关系式，于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数。 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 4 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 4 1 2 3 2 1 . 2 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k − − − − + − = − − − − − + − + − = − − − = − − − − − + + − + − =
Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU (2k+1)(2k (2k-1-1)(2k-3-1) (2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2) k-1-1)(2k-3-1)(1-)(1+2)…(1+2k-2)(1+2k) 1)! 第五步:写出解的最后形式,确定级数的收敛半径 (x)=cay(x)+cy1(x),其中 =1+X(2k-2-(2k-4-)(-)(+)(+2k-3+2k-x2 (2k) (2k-1-1)(2k-3-1)…(1-1)(l+2)…(l+2k-2)(+2k 2k+1 =x+ (2k+1) 它们在x<1是收敛的,在x21是发散的。 3.发散解的处理一 Legendre polynomials 可以证明,在=1即当x=1时,y(x)和y1(x)是发散的。例如, y(1)=1+ (2k-2-1)(2k-4-1)…(-)(1+1)(1+2k-3)(l+2k-1) k=1 (2k)! 2k+1)(2k+2) u(2k-1)( l+1 l+1 =1+-+O k 因此,由Gaus判别法可知,它是发散的[ See Chapter3 P54|=1+4 k k 当H>1时,∑n收敛:而当≤1时,∑发散 物理要求y(±1)有界!→问题:能否适当选取参数l,使当x取实数值时,y(x)的 特解在区间x≤1上保持有限?答:yes 在下篇我们将看到, Legendre'seq中宗量x常常是球坐标中的cosb,因为 e∈0],因而x=cosO∈[-1,+1我们知道,球对称物理量在球坐标系中
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k + − − − − + = + − − − − + − + = + − − = − − − − − + + − + = + 第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x = c y x + c y x ，其中， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k = − − − − − + + − + − = + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k + = − − − − − + + − + = + + 它们在 x 1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x =1 即当 x = 1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如， ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , 2 ! k k l k l l l l k l k y k = − − − − − + + − + − = + ( )( ) 1 ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k + + + + + = = − + + + − + + + + + − = + + 因此，由 Gauss 判别法可知，它是发散的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k + = + + 当 1 时， n=1 un 收敛；而当 1 时， n=1 un 发散]。 物理要求 y( 1) 有界！ 问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的 特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为 0, ，因而 x = − + cos 1, 1 . 我们知道，球对称物理量在球坐标系中
Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 任何方向取值不会是无限大的,这就要求当x=±1时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间-1≤x≤1上有限,我们必须让l为整数。 只有这样,无穷级数才被截断[上面第三步特别注意:cn2(n-1)cnl,y或 y退化为多项式。这些多项式在区间-1≤x≤1都是有限的。 例如,当l=0时,y(x)=1,y(x)发散.当l=1时,y0(x)发散, y(x)=x.当/=2时,y0(x)=1 3 x,(x)发散.当l=3时,y0(x)发散, y(x)=x-x3.一般地,当l=2n时, y(x)=1+ (2k-2-2n)(2k-4-2n)(-2n)2n+1)2n+3)-2n+2k- (2n+2k) (2n) (2k)(n+k)(n-k)! y1(x)发散。令c1=0,则y(x)=c(x)有限。当1=2n+1时,y0(x)发散, H(x)=x+(2k-1-1)(2k-3-1)(1-(+2)(+4)·(+2k) (2k+1) n(n+N文(一N(2k+1)(m+k+)秒小这 (2n+2k+2) k=0 令co=0,则y(x)=c1y1(x)有限(正是我们要的解) 如果我们选择c和c1使得当x=1时,y(x)=1,则上面的多项式解称 为 Legendre多项式,并记为P(x)即当1=2n时,选=(-yg2n-), 当1=2+1时,选a=(-ygn+D)(需要繁琐的运算,请自己验算) 例如,当l=0时,y(x)=P(x)=1.当l=1时,yx)=P{(x)=x 当=2时,y(x)=P(x)=5(3x2-1)当=3时y(x)= (4n-2k) 般地,当=2n时,y()=P2(x)=(N(2n-6)n-2D 当l=2n+1时
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x = 1 时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间−1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。 只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n +2 − ( ) ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间−1 x 1 都是有限的。 例如，当 l = 0 时， y0 (x) = 1， ( ) 1 y x 发散. 当 l =1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x) = x 1 . 当 l = 2 时， 2 0 2 3 y (x) = 1− x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l = 3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x) = x − x . 一般地，当 l = 2n 时， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k = = − − − − − + + + − = + + = − + − ( ) 1 y x 发散。令 c1 = 0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x = c y x 有限。当 l = 2n +1 时， ( ) 0 y x 发散， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k + = + = − − − − − + + + = + + + + + = − + + + + − 令 c0 = 0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x = c y x 有限（正是我们要的解）。 如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x =1 时， y(x) = 1 ，则上面的多项式解称 为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l = 2n 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 0 1 n n c n − = − ， 当 l = 2n +1 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 1 1 n n c n + = − .（需要繁琐的运算，请自己验算） 例如，当 l = 0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1 = = .当 l =1 时， 1 y x x x ( ) P ( ) = = . 当 l = 2 时， ( ) 2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x = = − .当 l = 3 时 y x (5x 3x) 2 1 ( ) 3 = − . 一般地，当 l = 2n 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k − = − = = − − − . 当 l = 2n +1 时
Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU y(x)=P2n(x)=∑(-) (4n+2-2k) 2k(2n+1-k)(2n+1-2k) 说明:1.习惯上l的取值为0和正整数,因为当/取负整数时,给出相同的结果: 当-1-1==0,1,2,…时,1(1+1)=(+1)和l给出的结果是相同的 Legendre' s equation具有这种对称性。物理上取l≥0. 2.总之,=0,1,2,…,y=P(x)且P/(1)=1和多项式的最高次幂的系数为 (2l) 1):P(x)构成正交、完备、封闭和归一集:∫P(x)P(x)dx=,,0m(se 1+1/2 hapter 12)封闭:P(x)及其各种运算均属于此 Hillbert空间。 3.本征值问题:泛定Eq+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值l=0,1,2…和本征函数P(x) 4.对称性对应守恒量,[,的=0→12=1(1+1)h2,l=0,1,2, Ym(O,q)=l(1+1)h2Ym(O,9),[L2,H=0→L2=m(m=0,土1,+2,…±) LYm(,9)=mhYn(29).Ymn(0,9)=(-1)", (2/+/-m) P"(cosO)em球谐函数 4r(+m)! 例如:Eq:y(x)+k2y(x)=0,条件:y(0)=c0,y(O)=c,众所周知解 y(x)= c cos kx+ -L sin kx.级数解亦如此,不过是级数形式而已:解微分方程 (t)+a2y(1)=0,已知初始(t=0)边界(x=0)条件:y(0)=an,y(0)=a1 [解]设此方程有如下形式的解 y=a0+a,/+a2t+a3l+.+a,t+ (8.1) 逐项微分,有y=a1+2a2t+3a12+…+m+…=∑mn (82) y=2l2+32a+…+n(n-1)a2+…=∑n(n-1)am"2 (83) )(n+1)an
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2 ! ( ) P ( ) 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k + − + + = + − = = − + − + − . 说明：1. 习惯上 l 的取值为 0 和正整数，因为当 l 取负整数时，给出相同的结果： 当 − − = l l 1 ' 0,1,2, 时 ， l l l l ( 1) '( ' 1), + = + l ' 和 l 给 出 的 结 果 是 相 同 的 。 Legendre’s equation 具有这种对称性。物理上取 l 0. 2. 总之， l = 0,1,2, ， P ( ) l y x = 且 P (1) 1 l = 和多项式的最高次幂的系数为 ( ) ( ) 2 2 ! . 2 ! l l l P ( ) l x 构成正交、完备、封闭和归一集： 1 ' ' 1 1 P ( )P ( ) 1/ 2 l l ll x x x l + − = + d (see chapter 12). 封闭： P ( ) l x 及其各种运算均属于此 Hillbert 空间。 3. 本征值问题：泛定 Eq.+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值 l = 0,1,2, 和本征函数 P ( ). l x 4. 对 称 性 对 应 守 恒 量 ， 2 2 2 ˆ ˆ [ , ] 0 ( 1) , 0,1,2, . L H L l l l = = + = ( ) 2 2 ˆ Y ( , ) 1 Y ( , ); L l l lm lm = + ˆ ˆ [ , ] 0 ( 0, 1, 2, , ). L H L m m l z z = = = ˆ Y ( , ) Y ( , ). L m z lm lm = (2 1)( )! Y ( , ) ( 1) P (cos ) 4 ( )! m m im lm l l l m e l m + − = − + 球谐函数. 例如：Eq.: 2 y x k y x ( ) ( ) 0 + = ，条件： 0 1 y c y c (0) , (0) = = ，众所周知解： 1 0 ( ) cos sin . c y x c kx kx k = + 级数解亦如此，不过是级数形式而已：解微分方程 2 y t y t ( ) ( ) 0 + = ，已知初始( t = 0 )/边界( x = 0 )条件： 0 1 y(0) = a , y (0) = a . [解] 设此方程有如下形式的解 2 3 0 1 2 3 0 n n n n n y a a t a t a t a t a t = = + + + + + + = ， （8.1） 逐项微分，有 2 1 1 1 2 3 1 2 3 , n n n n n y a a t a t na t na t − − = = + + + + + = （8.2） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 2 1 . n n n n n n n n y a a t n n a t n n a t n n a t − − = + = = + + + − + = − = + + （8.3）