广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 5.2 中心极限定理

5.2中心极限定理定理二（李雅普诺夫定理）李雅普诺夫设随机变量Xj,X2，…,X，….相互独立，它们具有数学期望和方差：E(Xr) = μk, D(Xr)=ok+0(k = 1,2,..),记 B, =o,k=1若存在正数,使得当n→8时11ZE(I X, - μr 2+8} →0,B,+8k=1K

{| | } 0, 1 1 2 2  − → = + + n k k k n E X B    定理二(李雅普诺夫定理) , 设随机变量X1 , X2  ,Xn , 相互独立, 们具有数学期望和方差： ( ) , E Xk = k 若存在正数 , , 1 2 2 = = n k 记 Bn  k ( ) 0 ( 1,2, ), 2 D Xk =  k  k =  使得当n →  时, 它 李雅普诺夫

5.2中心极限定理则随机变量之和的标准化变量ZZx,-EEXi-EuXkk=1k=k=1k=1Z, =Bn(2XD的分布函数F,(x)对于任意x满足Zx-Zuak=1k=1lim F,(x)=lim PBnn>00n0= Φ(x)K

则随机变量之和的标准化变量 Zn n n k k n k k B X  = = − 1 1  的分布函数Fn (x) 对于任意x满足 limF (x) n n→ − x − t e dt 2π 1 2 2 Φ( x).                 −  = = → x B X P n n k k n k k n 1 1 lim  = =             −    = = = n k k n k k n k k D X X E X 1 1 1 = = =

5.2中心极限定理定理二表明：无论各个随机变量X,X..,X,…服从什么nEXk分布，只要满足定理的条件那么它们的和k=l当n很大时，近似地服从正态分布（如实例中射击偏差服从正态分布）下面介绍的定理三是定理一的特殊情况K

定理二表明: (如实例中射击偏差服从正态分布) 下面介绍的定理三是定理一的特殊情况. 无论各个随机变量X1 , X2 ,  , Xn , 服从什么 分布, 只要满足定理的条件, = n k Xk 1 那么它们的和 当n 很大时, 近似地服从正态分布