a+b=2A (b-a)2(a+b)2 12 4 3(A2-A) 3 b=A1+√3(42-42) =X ∑(X1-X)2 ∑X=X b=X+∑(X-x 2=∑X
令 1 1 2 2 A A 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 12 4 a b A b a a b A 2 1 2 1 a ˆ A 3(A A ) 2 1 2 1 ˆ b A 3(A A ) 1 1 1 n i i A X X n 2 2 1 1 n i i A X n 2 1 3 ˆ ( ) n i i a X X X n 2 1 3 ˆ ( ) n i i b X X X n
例4设H1,H2…,Xn为X的一个样本,求X的数 学期望和方差a2的矩估计量。 解:令 141 其中1=E(X)= E(X2)=D(X)+E2(X)=a2+12 =∑ 0-+ ∑X
例4 设 1 2 , , X X X n 为X 的一个样本，求X 的数 2 学期望 和方差 的矩估计量。 解 ：令 1 1 2 2 A A 1 E(X ) 2 2 2 2 2 E(X ) D(X ) E (X ) 其中 则 1 2 2 2 1 1 1 n i i n i i X n X n
解得数学期望M和方差a2的矩估计量分别为 ∑X ∑(X1-X 总结:任何分布的均值和方差的矩估计量的表达 式都不变
解得数学期望 2 和方差 的矩估计量分别为 1 1 ˆ n i i X n 2 2 1 1 ˆ ( ) n i i X X n n 1 2 S n 总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达 式都不变
例5设总体X~N(422),X12F2…,Xn为X的 个样本,求,O的矩估计量 解由X~N(A,2)知E(X)=,D(X)=a2 所以由上例可得= ∑
例5 设总体 2 ~ 1 2 ( , ) , , , X N X X Xn 一个样本，求 2 , 的矩估计量。 为X 的 解 由 2 2 X ~ N(, )知E(X ) ,D(X ) 所以由上例可得 1 1 ˆ n i i X n 2 1 2 ˆ n S n
(2)若X为离散型随机变量,设其分布律为 P=P{X=x}=p(x,O1…,O,),B2…,(未知 A=p求,其中X1,X为样本, 令 A2=出2x…x为样本值,A=1y Xk 4=1从k=E(X)=∑xp(x,日,日,) 解出O=g,(X122…,Xn),i=1,2…,S
⑵ 若X为离散型随机变量，设其分布律为 1 1 { } ( , , , ) , , , i i s s p P X x p x 未知 令 1 1 2 2 s s A A A i 求 ，其中 1 , , X Xn 为样本， 1 , , n x x 为样本值， 1 1 n k k i i A X n 1 1 ( ) ( , , ) n k k k i i s i E X x p x 解出 1 2 ˆ ( , , , ) , 1,2, , i i n g X X X i s