、最大似然估计法 这是在总体类型已知条件下使用的 种参数估计方法 它首先是由德国数学家高斯在1821年 提出的, causs 然而,这个方法常归功于英国统计学 家费歇。 费歇在1922年重新发现了这一方法, 并首先研究了这种方法的一些性质
三、最大似然估计法 这是在总体类型已知条件下使用的一 种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年 提出的 , Gauss Fisher 然而，这个方法常归功于英国统计学 家费歇 。 费歇在1922年重新发现了这一方法， 并首先研究了这种方法的一些性质
最大似然法的基本思想: 假定一个盒子中有白、黑球共3个,但不知各有几个, 如果有放回的抽取3次球,发现第1,3次是黑球,第2次 是白球,试估计黑球所占的比例? 准备内容: 当总体X是离散型,P(X=xk}=p 分布律改写为:P{X=x}=p(x,0) 以泊松分布为例,P{X=x} n e x=0.12 样本X1…,X的联合分布律为:∏P(x,0)
最大似然法的基本思想： 假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个， 如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次 是白球，试估计黑球所占的比例？ 准备内容： 当总体X是离散型， { } , k pk P X x 分布律改写为： P{X x} p(x, ). 以泊松分布为例， , 0,1,2, ! { } x x e P X x x 则样本X1 ,, Xn的联合分布律为： n i i p x 1 ( , )
(1)X为离散型 分布律为P1=P(x1,6),其中知。X1,X2…,Xn 为X的样本,x1,x2…,xn为X的样本值, P{X1=x12X2=x2…Mn=xn}=P{X1=x1}…P{Xn=xn ∏P(x 记为L(O)=L(x12…,xn,O)=∏p(x,0) 样本的似然函数
分布律为 ( , ) i i p p x ，其中θ未知。 1 2 , , , X X X n 为X 的样本， 1 2 , , , n x x x 为X 的样本值， ⑴ X 为离散型 { , , , } { } { } 1 1 2 2 n n 1 1 n n P X x X x X x P X x P X x n i i p x 1 ( , ) ( ) ( , , , ) 记为 L L x1 xn n i i p x 1 ( , ) —— 样本的似然函数
满足条件:L(x1…,xn,)=maxL(x2…,x2,) 0(x1…,xn)为的最大似然估计值; 0(X1…2Xn)为的最大似然估计量 具体算法: 令L(O)=L(x1…,xnO)=∏p(x,0) 利用 dL(0) 0D0,求出O 常用1nL(0)=0,求出O de 对数似然方程
1 ˆ ( , , ) X X n 为θ的最大似然估计量； 1 ˆ ( , , ) n x x 为θ的最大似然估计值； 满足条件: ) max ( , , , ) ˆ ( , , , L x1 xn L x1 xn 具体算法： 令 ( ) ( , , , ) L L x1 xn n i i p x 1 ( , ) ˆ 0, ( ) 利用 求出 d dL ˆ 常用 ln L( ) 0,求出 d d 对数似然方程
例1设x1x2xn是取自总体Xb(1,p)的一个 样本值,求参数p的最大似然估计值。 解P{X=x}=p2(1-p)x,x=0,1 似然函数为:L(p) ∏p3(1-p) p(1-p) nL(p)=n(p∑x+-pn-∑x)
设x1 ,x2 ,…,xn是取自总体 X~b(1, p) 的一个 1 1 ( ) (1 ) i i n x x i L p p p 解 n i i n i i x n x p p 1 1 (1 ) 例1 似然函数为: 1 { } (1 ) , 0,1 x x P X x p p x 1 1 ln ( ) ln( ) ln(1 )( ) n n i i i i L p p x p n x 样本值，求参数p的最大似然估计值