命题:若总体X的k阶矩E(X)=k存在,则 证明因为样本X1,X2…Xn相互独立且与总体X 服从相同的分布。则X,K…,x也相互独立,且 与Xk服从相同的分布。 即E(Xx)=E(X2)=…=E(Xn)= 由辛钦定理∑x-"→4k即
. P Ak k 命题：若总体X 的 k 阶矩 存在，则 证明 因为样本 1 2 , , , X X X n 相互独立且与总体X 服从相同的分布。则 1 2 , , , k k k X X Xn 也相互独立，且 与 k X 服从相同的分布。 由辛钦定理 1 1 n k P i k i X n 即 . P Ak k k k E(X ) k k n k k 即E(X1 ) E(X2 ) E(X )
基本思想: Eg若X为连续型随机变量,设概率密度为 f(x,O2…,O),2…,O2未知 4=142=E(x)=x(x…)dx 令〈22 =2 解出日=8,(X1,2…,Xn),=1,2,…S
基本思想: Eg.若X为连续型随机变量，设概率密度为 1 1 ( , , , ) , , , e e f x 未知 令 1 1 2 2 e e A A A 1 1 n k k i i A X n 1 ( ) ( , , ) k k k E X e x f x dx 解出 1 2 ˆ ( , , , ) , 1,2, , i i n g X X X i s
例1设总体X服从参数为2的指数分布,X1…xn 为X的一个样本,求λ的矩估计量 解:令A1=1 其中A=∑X= 11=E(X)= 所以λ的矩估计量为 估计量 估计值 ∑
例1 设总体 求 的矩估计量。 解: 令A1 1 其中 1 1 1 n i i A X X n 所以λ的矩估计量为 为X的一个样本， X X Xn , , 服从参数为的指数分布， 1 , 1 ( ) 1 E X . 1 ˆ X . 1 ˆ 1 n i i x n x 估计量 估计值
例2设总体X的概率密度为 ∫(x)= (a+1)xa,0<x<1其中a>-1 0 其 是未知参数, X12xn是取自X的样本,求参数a的矩估计量 解A1=E(X)=[x(x+1)x a+1 a+1 + a+2 a+1 a+2
例2 设总体X 的概率密度为 解 E X x x dx ( ) ( 1) 1 0 1 2 1 ( 1) 1 1 0 x dx 即 2 1 1 0, 其它 ( 1) , 0 1 ( ) x x f x 是未知参数, 其中 1 X1 ,X2 ,…,Xn是取自X 的样本,求参数α的矩估计量
a =Ⅹ a+2 2X-1 从而a的矩估计量a 1-X 例3设总体X~U(a,b),a,b未知,X1,X2…,Xn 为X的一个样本,求a,b的矩估计量。 解1=E(X)=(a+b)/2 2=E(X2)=D(X)+E2(X) b-a)2(a+b) 12 4
令 A1 1 ，则 1 2 X 从而α的矩估计量 2 1 ˆ . 1 X X ~ 1 2 ( , ) , , , , X U n a b a b 未知，X X X 为X 的一个样本，求 a,b的矩估计量。 例3 设总体 解 1 E(X ) (a b)/ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 b a a b E X D X E X