线性实间与线性变换 第一节线性空间的定义与性质 > 线性空间的定义 >二、线性空间的性质 子空间 >四、小结思考题 帮助四
一线性空间的定义 一个鏃悬续簪能鹚量琶喬铃懸含雍产:也是 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是 某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题 看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际 王问题 上页
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 一、线性空间的定义
定义1设T是一个非空集合,R为实数域.如果 对于任意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元 素y∈J与之对应,称为a与B的和,记作 r=a+ B 若对于任一数∈R与任一元素a∈V总有唯 的一个元素δ∈V与之对应,称为与a的积, d=na 上页
= + 若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 R V V = 定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 , V V V R
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么V就称为数域R上的向量空间(或线性空间) 设a,B,y∈V;A,p∈R (1)a+B=B+; (2)(a+B)+y=a+(B+y (3)在中存在零元素0,对任何a∈V,都有 c+0=a; 上页
设, , V;, R 0 ; (3) 0, , + = 在V中存在零元素 对任何 V 都 有 (1) + = +; (2) ( + )+ = + ( + ); 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
(4)对任何a∈V都有a的负元素B∈V,使 a+B=0 (5)1a=a; (6)(a)=(x)x; (7)(+)a=a+uax; (8)x(a+B)=4a+4B. 上页
(5) 1 =; (6) () = (); (8)( + ) = + . (7)( + ) = + ; 0; (4) , , + = 对任何 V 都 有的负元素 V 使