线性实间与线性变换 第四节线性变换 > 线性变换的概念 >二、线性变换的性质 >三、小结思考题 帮助四
王一、线性变换的概念 1.映射 线性空间中向量之间的联系,是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的. 牛定义设有两个非空集合4如果对于中任一 元素a,按照一定规则总有B中一个确定的元素 和它对应那么,这个对应规则称为从集4到集合 B的变换(或映射,记作 王B=r(a)或=raa∈A 上页
线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 一、线性变换的概念 ( ) ,( ). ( ), , , , , 1 , , T T A B A B A B A = = 或 的变换 或映射 记 作 和它对应 那 么 这个对应规则称为从集合 到集合 元 素 按照一定规则总 有 中一个确定的元素 定 义 设有两个非空集合 如果对于 中任一
设a∈A,T(a)=B,就说变换7把元素a变为 王称为在变换了下的象a称为在变换了下的源 A称为变换7的源集象的全体所构成的集合称为 象集记作T(A),即 T(4)={B=Ta)a∈A 显然T(A)cB. 变换的概念是函数概念的推广 上页
T(A) = = T() A, 变换的概念是函数概念的推广． 象 集 记 作 即 称为变换 的源集 象的全体所构成的集合称 为 称 为 在变换 下的象 称 为 在变换 下的源 设 就说变换 把元素 变 为 , ( ), , , . , ( ) , , T A A T T T A T T = 显然T(A) B
2.从线性空间到Un的线性变换 定义2设Jn,Um分别是实数域上的n维和m维线 性空间T是一个从Vn到Um的变换如果变换满足 (1)任给a1a2∈Vn,有 T(x1+a2)=T(a1)+T(ax2 (2)任给a∈Vn,k∈R都有T(ka)=kT(a) 那么就称T为从V到Um的线性变换 上页
( ) ( ) ( ); (1) , , 1 2 1 2 1 2 T T T Vn + = + 任给 有 (2) V ,k R, T(k) kT(). 任给 n 都有 = 那么,就称 为从 到 的线性变换. T Vn Um 性空间 是一个从 到 的变换 如果变换 满 足 定 义 设 分别是实数域上的 维 和 维 线 T V U T V U n m n m n m , , 2 , 2．从线性空间 V n 到 U m 的线性变换
说明 (1)线性变换就是保持线性组合的对应的变换 (2)一般用黑体大写字母T,A,B,…代表线性 变换,r(a减或Ta代表元素a在变换T下的象 上页
, ( ) . (2) , , , 变换 或 代表元素 在变换 下的象 一般用黑体大写字母 代表线性 T T T T A B 说明 (1)线性变换就是保持线性组合的对应的变换