说明 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算, 称为线性运算 2.向量空间中的向量不一定是有序数组 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定 义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条 c性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间 上页
2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明 1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算．
线性空间的判定方法 (1)一个集合,如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运 算的封闭性 例1实数域上的全体m×n矩阵,对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作RmD 工工工 A +B=C mxn 5 a4…=D xn mxn 5 Rm"是一个线性空间 上页
（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． mn m n R , Amn + Bmn = Cmn , Amn = Dmn 是一个线性空间. m n R 线性空间的判定方法
例2次数不超过m的多项式的全体,记作P[xn,即 Pxn={P=anx"+…+a1x+a0an,…,a1,ao∈R} 对于通常的多项式加法,数乘多项式的乘法构成向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律 (anx+…+a1x+ao)+(bnx"+…+b1x+b0) =(an+bn)x"+…+(a1+b1)x+(ao+b)∈Pxln (anx+…+a1x+a0) =(4an1)x"+…+(a1)x+(ao)∈Pxln P[xl对运算封闭 上页
. , [ ] { , , , }, , [ ] , 1 0 1 0 量空间 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成向 次数不超过 的多项式的全体 记作 即 P x p a x a x a a a a R n P x n n n n n = = ++ + 例 2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n ++ + + ++ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n ++ + + + P[x] n ( ) a x a1 x a0 n n ++ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n = n ++ + P[x] n P[x] 对运算封闭. n
例3n次多项式的全体 Q(xh,=p=anx"+.aix+ao a 15 a∈R,且an≠0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 间 0p=0x"+…+0x+0 E ex Qxn对运算不封闭 上页
. , 0} [ ] { , , , 0 1 0 1 间 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 且 次多项式的全体 = = + + + a R a Q x p a x a x a a a n n n n n n 例 3 0 p = 0 x + + 0x + 0 n Q[x] n Q[x] 对运算不封闭. n