相矩及三次型 第四节对称矩阵的相似矩阵 对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 >三、小结思考题 帮助四
压~对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说 明,均指实对称矩阵. 定理1对称矩阵的特征值为实数 证明设复数λ为对称矩阵4的特征值,复向量x为 对应的特征向量, 即 A4x=ax,x≠0. 用表示的共轭复数,表示的共轭复向量, 则Ax=Ax=(4x)=(ax)=元x 上页
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
庄于是有x4x=x(4)=xx=x 牛及x4x=(2Ak=(4yx=(yAxx 两式相减,得 -几 xx=0. 但因为x≠0, 王所以xx==x2≠0=(x-x)=0 牛即=元,由此可得是实数 上页
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理的意义 由于对称矩阵4的特征值九为实数,所以齐次 线性方程组 (4-a;E)x=0 工工工 是实系数方程组,由A-1E=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可以取实向量 上页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
定理2设λ,22是对称矩阵4的两个特征值,D1, n2是对应的特征向量若1≠2,则与2正交 庄明1=4,=4,有≠ A对称,A=Ar, 41n1=(1n1)=(41)=n1A=n1A, 于是A1n1P2=n142=n1(2n2)=2nn2 → (1-2)nP2=0 ≠12,∴P1P2=0.即p1与2正交 王页下
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T