线性实间与线性变换 第二节维数、基与坐标 线性空间的基与维数 >二、元素在给定基下的坐标 线性空间的同构 >四、小结思考题 帮助四
生一、线性空间的基与维数 已知:在R中,线性无关的向量组最多由n 生个向量组成,而任意+1个向量都是线性相关的 庄问题:线性空间的一个重要特征在线性空 间中,最多能有多少线性无关的向量? 上页
一、线性空间的基与维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． R n n n + 1 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义1在线性空间中,如果存在n个元素 1502990n 满足: (1)a1 1929 cn线性无关 (2)V中任一元素a总可由a1,a2,,n线性 表示, 那末,ax1,a2,…,an就称为线性空间/的一个 基,n称为线性空间的维数. 上页
(1) , , , ; 1 2 n线性无关 , . , , , , 1 2 基 称为线性空间 的维 数 那 末 就称为线性空间 的一个 n V n V , (2) , , , 1 2 表 示 V中任一元素总可由 n线 性 定义１ 在线性空间 中，如果存在 n 个元素 n , , , 1 2 满足： V
维数为n的线性空间称为n维线性空间记作l n 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关 的向量时,就称V是无限维的 若an1,a2…,an为V的一个基则Vn可表示为 王V==xa1+xa2+…+x以x1,,,x∈R 上页
, . 维数为n的线性空间称为n 维线性空间 记作Vn 若1 , 2 , , n为Vn的一个基,则Vn可表示为 Vn = = x11 + x22 ++ xnn x1 , x2 , , xn R 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． V V
生二、元素在给定基下的坐标 定义2设a1,a2,…,a,是线性空间的一个基对 于任一元素a∈Vn,总有且仅有一组有序 数 19299n 使 C=x11+x2O2+…+xnn 有序数组x,”x称为元素在1,…以这个 基下的坐标,并记作a=(x1,x2…,xn)y 上页
, = x11 + x2 2 ++ xn n , ( , , , ) . , , , , , , 1 2 1 2 1 2 n T n n x x x x x x = 基下的坐标 并记作 有序数组 称为元素 在 这 个 数 使 于任一元素 总有且仅有一组有序 设 是线性空间 的一个基 对 , , , , , , , , , 1 2 1 2 n n n n x x x V V 定义２ 二、元素在给定基下的坐标