相似矩阵及二次型 第五节二次型及其标准形 > 次型及其标准形的概念 >二、二次型的表示方法 二次型的矩阵及秩 >四、化二次型为标准形 >五、小结思考题 帮助四
庄一、二次型及其标准形的概念 王定义含有n个变量x1,x2,…,x,的二次齐次函数 王(c,x,,x)=+a2号+…+amx +212x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 称为二次型 当a1是复数时/称为复二次型; 当a1是实数时称为实二次型 上页
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型
只含有平方项的二次型 k1y2+k2y2+…+k n.n 称为二次型的标准形(或法式) 例如 f(,x2,x3)=2x1+4x2+5x3-4x,-x, f(x1,x2x3)=x1x2+x1x3+x2 都为二次型 f(x1,x2,x)=x2+4x2+4x3 为二次型的标准形 上页
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
生二二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 2 192 11~1 22~2 +2a12x1x2+213x1x3+…+2an1m2xn1xn 王取an=a则2xy=x+1x,于是 工工工 f=au 2 X +a 12 x1x2+…+a1n11 +a212X1+a2x2+…+2nx2Xn +…+an1xnx1+an2xnx2+…+ a.X =∑ax;x i,j=1 上页
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法
2.用矩阵表示 f=auxi aux,x2 +.+alnxx +a21C2C1+a222+……+ 2n2 n +…+a,xx;+a,x.x,+…+ax2 =x1(1x1+a1 X,十∴ 12~2 aunt) +x2(a21x1+a2x2+…+a2mxn) +…+xn(anx1+an2x2+…+amxn) 1x1+12x2+… Cinn 21x1+a22X2+…+a2nXn =(x1x2……Xn n11+an2X2+…+amXn 上页
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )