相矩及三次型 第二节方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 >二、恃征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 >四、小结思考题 帮助四
生一、特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵如果数和n维非零列向量 使关系式 Ax=2x 成立那末这样的数称为方阵A的特征值非零向 量x称为A的对应于特征值λ的特征向量 工工工 说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的 2.n阶方阵A4的特征值,就是使齐次线性方程组 (4-aE)x=0有非零解的值,即满足方程4-AE =0的都是矩阵A的特征值 上页
说明 1.特征向量x 0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x A A Ax x A n n x =
3.A-E=0 12 In 21 22 2n=0 nI n2 称以为未知数的一元m次方程A-E=0 为4的特征方程 记f(4)=A-E,它是的次多项式称其 为方阵4的特征多项式 上页
3. A − E = 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − n n nn n n a a a a a a a a a 称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式
4设m阶方阵A=(a)的特征值为λ,2,…, ,则有 (1)A1+2+…+n=a1+a2+…+am (2)12…n=A, 上页
( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij = (1) ; 1 + 2 ++ n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12 n = A
例1求A=(3-1 的特征值和特征向量 13 解A的特征多项式为 3-4-1 13-4 =(3-x)-1 =8-6元+2=(4-4)(2-) 所以4的特征值为1=2,2=4 当A1=2时,对应的特征向量应满足 3-2 -1(x=) 13-2人x2 上页
解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量 − − A = A的特征多项式为 − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = − + = − − 2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1 = − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足