二、函数单调性的判别定理6.3 设 f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间 1上单调增(减)的充要条件是：:f'(x)≥0(≤0)证若f为递增函数,则当x,x,EI,x±x,时,有f(x)-f(x) ≥0.x-xo令 x→x,即得f(x)≥0.返回前页后页
前页 后页 返回 二、函数单调性的判别 定理6.3 设 f (x)在区间 I上可导，则 f (x)在区间 I 上单调增(减)的充要条件是 : ( ) 0 ( 0). f x 证 0 0 若 f x x I x x 为递增函数, , , 则当 时,有 0 0 ( ) ( ) 0. f x f x x x − − 0 0 令 x x f x → , ( ) 0. 即得
反之,若f'(x)≥0,xEI. Vx,x, EI,(设x, <x,)由拉格朗日中值定理，3e(xj,x,),f(x2)-f(xi)= f'(5)(x2 -xi)≥0 ,即 f(x,)≥f(x),这就证明了函数 f(x)递增返回前页后页
前页 后页 返回 1 2 1 2 反之,若 f x x I x x I x x ( ) 0, . , ,( ) 设 1 2 由拉格朗日中值定理, ( , ) , x x ( ) ( ) ( )( ) 0 , f x2 − f x1 = f x2 − x1 即 ( ) ( ), 2 x1 f x f 这就证明了函数 f x( ) . 递增
例4 设 f(x)=x3-x. 讨论函数 f 的单调区间解 由于f(x)= 3x2 -1=(/3x +1)( /3x -1),1时，f(x)>0,f递增，因此当xe(-,- 3)当xe(-3)时，f(x)<0,f递减，当xe(,+0)时,I(x)>0, 了递增,前页后页返回
前页 后页 返回 例4 设 f (x) = x 3 － x. 讨论函数 f 的单调区间. 解 由于 ( ) 3 1 ( 3 1)( 3 1), 2 f x = x − = x + x − 因此 当 x ) 时，f (x) 0, f 递增， 3 1 (−, − 当 x ) 时，f (x) 0, f 递减， 3 1 , 3 1 (− , ) ( ) 0, . 3 1 当 x ( + 时，f x f 递增
yy=r3-x1.510.50A11-0.5-1.5051.5X-0.5-1-1.5前页后页返回
前页 后页 返回 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 1 1.5 x y 3 y x x = −
定理6.4可微函数f(x)在区间I上严格递增的充要条件是：(1) 对一切的xe(a,b)f'(x)≥0;(2）在(a,b)的任何子区间上f'(x)不恒为0前页后页返回
前页 后页 返回 定理6.4 可微函数 f (x) 在区间 I 上严格递增的充 (1) ( , ) ( ) 0; 对一切的x a b f x 要条件是： (2) ( , ) ( ) 0. 在 a b f x 的任何子区间上 不恒为