证 充分性 由定理6.3可知 f(x)递增.若 f(x)不是严格递增,则存在x,x, eI,x<x,,使 f(x)=f(x,).这就得到f(x)在区间(x,x,)上恒为常数，故f'(x)=0, xe(xi,x2)矛盾.充分性得证前页后页返回
前页 后页 返回 1 2 1 2 1 是严格递增,则存在 x x I x x f x , , , ( ) = 使 证 充分性 由定理 6.3 ( ) . ( ) 可知 f x f x 递增 若 不 1 2 f x( ). 2 这就得到 f x x x ( ) ( , ) , 在区间 上恒为常数 故 ( ) 0 , ( , ) x x x1 x2 f 矛盾. 充分性得证
推论设函数在区间I上可微,若f(x)>0(f(x)<0)则f在I上严格递增（严格递减）注意若f(x)在[a,bl上连续，(a,b)上(严格)递增(减)则f(x)在[a,b]上(严格)递增(减)前页后页返回
前页 后页 返回 推论 设函数在区间 I f x f x 上可微,若 ( ) 0( ( ) 0), 则 f I 在 上严格递增( ). 严格递减 注意 若 f (x)在[a,b]上连续，(a,b)上(严格)递增(减), 则 f x a b ( ) [ , ] ( ) ( ). 在 上 严格 递增 减
例5求证e*>1+x,x>0.证 设 F(x)=e-1-x,则 F(x)=e-1. 所以F(x)≥0,xe[0, +0),且当x>0时, F'(x)>0(F(x)=0 的点不含一个区间 ).故 F(x)在[0,+o0)上严格递增,所以对任意 x>0，恒有F(x)> F(0)= 0.即e*>1+x, x>0.后页返回前页
前页 后页 返回 例5 求证 e 1+ x , x 0 . x 证 设 F(x) = e x − 1− x , 则 ( ) = e − 1. x F x 所以 F x x x ( ) 0, [0, ), 0 , + 且当 时 F x ( ) 0 ( ( ) 0 ). F x = 的点不含一个区间 故 F x( ) [0, ) 在 + 上严格递增, 0 , 所以对任意 x 恒有 F(x) F(0) = 0, 即 e 1+ x, x 0. x
定理6.5（达布（Darboux）定理）如果f在[a,bl 上可导，且f^(a)f'(b)，k是介于 f'(a)与 f'(b)之间的任一实数，则至少存在一点 cE(a,b),使得f'(c)=k.返回前页后页
前页 后页 返回 定理6.5(达布(Darboux)定理) 一点 c(a,b), 使得 f (c) = k. 如果 f 在 [a, b] 上可导，且 f+ (a) f− (b) , k 是介 于 f+ (a) 与 f− (b) 之间的任一实数，则至少存在
证 令 F(x) =f(x)- kx, 则 F'(x)=f(x) -k.根据费马定理，只要证明F(x)在(a,b)上有极值点即可由于 F(a)·F'(b)=(f'(a)-k)·(f'(b)-k)<0, 可设 F(a)>0,F(b)<0 .由Pg例8,分别存在x, eU(a), x, eU~(b), 且 x, <x2,后页返回前页
前页 后页 返回 证 令 F(x) = f (x)－ kx, 则 F (x) = f (x) －k .根据 费马定理,只要证明 F(x) 在 (a, b) 上有极值点即可. 由于 F+ (a) F− (b) = ( f+ (a) − k)( f− (b)− k) 0 , 可 F a F b ( ) 0, ( ) 0 . 8 , + − 设 由 96 P 例 分别存在 ( ), ( ), , x1 U+ a x2 U− b 且 x1 x2