85 函数的凸性与拐点从两个熟悉的函数y=x2与y=x的图象来看凸性的不同：yyVxy=V=BABxx200y=x(y=Vx)上任取两点A,B,弦AB恒在曲线段AB的上方下方）返回前页后页
前页 后页 返回 §5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数 2 y x y x = = 与 的图象来看 凸性的不同： 2 y x y x A B = = ( ) , , 上任取两点 弦 恒在曲线 AB 段 AB 的上方(下方) . 2 y x = A B x y O • • 返回 A B y = x x y O
定义1设f为区间I上的函数.若对于I上的任意两点xi,x,和任意实数e(0,1),总有f(ax, +(1-a)x,)≤af(x)+(1-a)f(x,), (1)则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有f(ax +(1-a)x,)≥af(x )+(1-a)f(x,), (2)则称f为「上的一个凹函数如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数后页返回前页
前页 后页 返回 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应 定义1 设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意 1 2 两点 和任意实数 总有 x x, (0, 1), 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (1) + − + − 则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (2) + − + − 的函数称为严格凸函数和严格凹函数
由此可得 y=x2在(-o0,+0)上为严格的凸函数,y=Vx为[0,+]上的严格凹函数,很明显，若f(x)为(严格)的凸函数,那么-f (x)就为(严格)凹函数，反之亦然引理f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是：对于I中的任意三点x<x,<x,有f(x,)-f(x)<f(x,)-f(x,)(3)X2 -XiX3-X2后页返回前页
前页 后页 返回 2 由此可得 在 ， 上为严格的凸函数， y x = − + ( ) 很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是： 对于I中的任意三点x1 x2 x3 ,有 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (3) f x f x f x f x x x x x − − − − y x = 为 0，+ )上的严格凹函数 . 为(严格) 凹函数，反之亦然
证（必要性)设几=-于是X -Xiyx, = 1x, +(1- a)x3因为f(x)为「上的凸函数，所以-f(x,) = f(ax, +(1-a)x,)-1ol xX3 xX2≤af(x)+(1-a)f(x)-x2 f(x)+±-xf(x,).X3-XiX3-Xi从而有(x -x)f(x)≤(x -x,)f(x)+(x -x)f(x)前页后页返回
前页 后页 返回 2 1 3 x x x = + − (1 ) . 从而有 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 2 1 3 f x f x x ( ) ( (1 ) ) = + − 1 3 + − f x f x ( ) (1 ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 1 3 1 ( ) ( ). x x x x f x f x x x x x − − = + − − 3 1 2 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x f x x x f x x x f x − − + − 证 , 3 1 3 2 x x x x − − （必要性） 设 = 于是 1 x 2 x 3 O x y x • • •
即(x, -x,)f(x)+(x, -xi)f(x,)≤(x -x,)f(x)+(x, -x)f(x),整理后即为(3)式(充分性）对于任意 x,<x,,e(0,1). 设x, = ax +(1-a)xg,则f(x,)-f(x)<f(x)-f(x)X -XiXs -X2由于必要性的证明是可逆的，从而得到前页后页返回
前页 后页 返回 整理后即为 (3) 式. 即 3 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x x f x − + − 3 2 1 2 1 3 − + − ( ) ( ) ( ) ( ), x x f x x x f x 2 1 3 x x x = + − (1 ) , 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）对于任意 1 3 x x , (0, 1). 设 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x f x f x f x x x x x − − − − 则