S2换元积分法与分部积分法不定积分是求导运算的逆运算，相应于复合函数求导数的链式法则和来法求导公式，不定积分有换元积分法和分部积分法。一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法返回前页后页
前页 后页 返回 §2 换元积分法与分部积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法 返回
一、第一换元积分法定理8.4（第一换元积分法）设 g (u)在[α, β)上有定义,且[ g(u)du=G(u)+C.又u=p(x)在[a,b]上可导,且α≤p(x)≤β, xe[a,b].则 J g(p(x)p(x)dx=J g(u)du= G(u)+C= G(β(x))+C. (1)证因为G(p(x) = G'(p(x))p(x)= g(p(x))p(x)dx所以(1)式成立后页返回前页
前页 后页 返回 定理8.4 (第一换元积分法) 设 在 上有定义， g u( ) [ , ] = + 且 g u u G u C ( )d ( ) . 又u = (x)在[a,b]上可导，且 (x) , x [a,b]. 则 = g x x x g u u ( ( )) ( )d ( )d = G(u) + C= + G x C ( ( )) . (1) 证 = d ( ( )) ( ( )) ( ) d G x G x x x 因为 = g((x))(x). 一、第一换元积分法 所以(1)式成立
第一换元积分法亦称为凑微分法，即g(p(x)p'(x)dx = / g((x)dp(x)= G(p(x) +C,其中G(u)=g(u).常见的凑微分形式有(1) adx = d(ax);(2) dx = d(x +a);1(3) xdx = d(xa+); (4) cosxdx =d(sinx);α+1(5) sinxdx = d(-cosx); (6) Idx = d(In|x);dx(7) sec xdx = d(tanx); (8)I+x? = d(aretan x).后页返回前页
前页 后页 返回 第一换元积分法亦称为凑微分法, 即 = = + g x x x g x x G x C ( ( )) ( )d ( ( ))d ( ) ( ( )) , (1) d d( ); a x ax = (2) d d( ); x x a = + 1 1 (3) d d( ); 1 x x x + = + (4) cos d d(sin ); x x x = (5) sin d d( cos ); x x x = − 1 (6) d d(ln ); x x x = 2 (7) sec d d(tan ); x x x = 2 d (8) d(arctan ). 1 x x x = + 其中G u g u ( ) ( ). = 常见的凑微分形式有
dx求(a>0).例1福2+?a解dxXdu-arctanu+Ca?+Carctan-a返回前页后页
前页 后页 返回 例1 ( 0). d 2 2 + a a x x 求 解 + = + 2 2 2 1 d d 1 a x a x a x a x 2 1 d 1 u a u = + u C a = arctan + 1 arctan . 1 C a x a = +
dx例2 求[(a ±0).2-adx解dx一-a222.00x+ad(x + a)d(x-a)2a2aJAx-ax+a20/m/x-a/-2In/x+al2a1xa一++C.n2ax+a后页返回前页
前页 后页 返回 例2 ( 0). d 2 2 − a x a x 求 解 = − − − + 2 2 d 1 1 1 d 2 x x x a a x a x a 1 d( ) 1 d( ) 2 2 x a x a a x a a x a − + = − − + ln | | 2 1 ln | | 2 1 x a a x a a = − − + ln . 2 1 C x a x a a + + − =