定理条件,则存在e(x,x),使得f(x)- f(x) = f(E).x-xo由于x<<x,因此当x→时，随之有→x对上式两边求极限，便得前页后页返回
前页 后页 返回 0 定理条件,则存在 ( , ), x x 使得 0 0 ( ) ( ) ( ). f x f x f x x − = − 0 0 0 x x x x x , , , + + 由于 → → 因此当 时 随之有 对上式两边求极限，便得
f(x) - f(x) = lim f(5)= f(x +0).limx→xox-Xox→xo(2) 同理可得 f'(x)=f(x,-0),因为 lim f(x)=k,所以 f(x, +0)=f'(x, -0)=k,x-→xo从而 f'(x)= f(x)=k,即 f(x)= k.后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( 0). x x x x f x f x f f x x x → → + + − = = + − 0 0 (2) ( ) ( 0). f x f x − 同理可得 = − 0 0 0 lim ( ) , ( 0) ( 0) , x x f x k f x f x k + − → 因为 = + = − = 所以 0 0 0 f x f x k f x k ( ) ( ) , ( ) . + − 从而 = = = 即
例2求证:arctanb-arctana≤b-a,(a<b)证设f(x)=arctanx.显然f(x)在区间[a,bl 上满足拉格朗日定理的条件，故有1(b-a)≤b-a, a<E<barctanb-arctanaS1 +返回前页后页
前页 后页 返回 例2 求证: arctanb − arctana b − a, (a b). 证 设 f (x) = arctan x . 显然 f (x) 在区间 [a ,b] 上 满足拉格朗日定理的条件，故有 ( ) , . 1 1 arctan arctan 2 b a b − a b − a a b + − =
注例2中的不等号可以成为严格的.事实上，当0<a<b和a<b≤0时,显然不为零,严格不等式成立.当a<0<b 时,存在 5i E(0, b), 52 E(a, 0), 使得arctanb- arctana= arctanb-arctan0+ arctan0-arctana11b+(-a)<b-a.孔多1 +1 +后页返回前页
前页 后页 返回 注 例2中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当 式成立. 当 a 0 b 时， 0 a b 和 a b 0 时, 显然不为零, 严格不等 = arctanb − arctan0 + arctan0 − arctana arctanb − arctana ( ) . 1 1 1 1 2 2 2 1 b −a b − a + + + = 存在1 (0, b), 2 (a, 0), 使得
例3求分段函数x+sinx?,x≤0f(x)=ln(1+x),x>0在x-0 处的导数x<0sinx在x=0处可导吗？g(x)=ln(l+x),x>0前页后页返回
前页 后页 返回 例3 求分段函数 2 sin , 0 ( ) . ln(1 ) , 0 x x x f x x x + = + 在x=0 处的导数. 2 sin , 0 ( ) 0 ln(1 ) , 0 x x g x x x x = = + 在 处可导吗?