S1拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系的桥梁.有了中值定理，就可以根据f在区问上的性质来得到f在该区问上的整体性质。一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别返回前页后页
前页 后页 返回 §1 拉格朗日定理和 函数的单调性 一、罗尔定理与拉格朗日定理 二、函数单调性的判别 质来得到 f 在该区间上的整体性质. 中值定理,就可以根据 f 在区间上的性 中值定理是联系 f 与 f 的桥梁.有了 返回
一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上满足：(i) 在闭区间[a,bl上连续(ii)在开区间(a,b)上可导：(iii) f(a) = f(b),那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点，使f'()=0.返回前页后页
前页 后页 返回 定理6.1(罗尔中值定理) 设函数 f (x)在区间[a,b]上满足： 一、罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使 f ( ) 0. = (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f(a) = f(b)
(1)几何意义据右图，因为Vf (a) = f(b),B所以线段AB是水平A的.由几何直观可以a看出，曲线上至少有bx一点处的切线也是水平的.返回前页后页
前页 后页 返回 (1) 几何意义 据右图, x y a b A B 1 2 O 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 的.由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 f (a) = f (b)
(2) 条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成立.Vx, 0≤x<1(a) 函数 f(x)=0,x=1在[0,1] 上满足条件(ii)和x0(iii),但条件(i)不满足，该函数在(0,1)上的导数恒为1.后页返回前页
前页 后页 返回 (2) 条件分析 O x y 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 = = 0, 1 , 0 1 (a) ( ) x x x 函数 f x 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. (iii), 但条件 (i) 不满足,该函
(b) f(x)=/ x l, xe[-1, 1]满足条件(i)和(ii),但条件(ii)却遭到破坏(f 在x=0X-10l处不可导）结论也不成立(c) f(x)= x, xe[0,1] 满足条件(i)和(ii),但条件(iii)却遭到破坏,该函数在(0,1)0x1内的导数恒为1.后页返回前页
前页 后页 返回 (b) f (x) = | x |, x [−1, 1] 满足条件 (i) 和 (iii), 但条件 条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii) (c) f (x) = x, x [0, 1] 满足 O x y 1 O y − 1 1 x 处不可导), 结论也不成立. (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 (0, 1)