S4 函数的极值与最大（小）值极大（小）值是局部的最大（小）值，它有看很明显的几何特征.在本节中，我们将逐一研究函数的这些几何特征。一、极值判别二、最大值与最小值返回前页后页
前页 后页 返回 §4 函数的极值与最大(小)值 二、最大值与最小值 极大(小)值是局部的最大(小)值, 它 一、极值判别 们将逐一研究函数的这些几何特征. 有着很明显的几何特征. 在本节中,我 返回
一、极值判别费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳定点也就是说，在曲线上相应的点处的切线一定是水平的我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的条件下建立的.换句话说，若没有可微这个前提条件，费马定理的结论f(x）=0就无从说起前页后页返回
前页 后页 返回 费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳 一、极值判别 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 定是水平的. 定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 条件，费马定理的结论 f x ( ) = 0 就无从说起. 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提
当然，费马定理的逆命题亦不真，例如对于任意V的可微函数@(x)，(0)±0,函数=x@(x)在点x=0的导数为零，但x=0不是它的x0极值点.下面给出极值的充分条件定理6.10（极值的第一充分条件）设函数f(x)在x,连续，在某邻域 U（x;8）上可导，后页返回前页
前页 后页 返回 当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 3 函数 在点 的 y x x x = = ( ) 0 下面给出极值的充分条件. 定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在 0 0 x U x 连续，在某邻域 上可导 ( ; ) . 导数为零, 但 x = 0 不是它的 极值点. y O x 的可微函数 ( ) , (0) 0, x
(i)若当xe(x,-S,x,)时,f'(x)≤0,当x(x,x, +)时，f(x)≥0,则 f(x)在点x,取得极小值(ii)若当xe(x,-S,x)时,f'(x)≥0,当x(x,x, +)时，f'(x)<0,则 f(x)在点x,取得极大值证根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可以知道该定理的几何意义十分明显：在这里仅给出(i)的证明后页返回前页
前页 后页 返回 0 时，f x f x x ( ) 0, ( ) . 则 在点 取得极小值 0 0 0 0 0 (ii) ( , ) , ( ) 0, ( , ) 若当 x x x f x x x x − + 时 当 0 时，f x f x x ( ) 0, ( ) . 则 在点 取得极大值 证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可 0 0 0 (i) ( , ) ( ) 0, 若当 x x x f x − 时, 0 0 当 x x x + ( , ) 出 (i) 的证明. 以知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给
因为 f'(x)≤0, xe(x -8,xo), f(x)在(x, -8,x)上连续，所以f(x)在(x-,xol上递减，故f(x)≥ f(x) , xe(x.-S,x)同理可证f(x)在[x,x,+8)上递增,故f(x)≥f(x), xe(xo,x, +)于是f(x)≤ f(x), xeU(xo;8),即x.是f(x)的一个极小值点.后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) 0 , ( , ) , ( ) ( , ] 0 0 x x0 x0 因为 f x x x − x f 在 − 上连续，所以 f (x) 在 (x0 − , x0 ]上递减，故 0 0 0 f x f x x x x ( ) ( ) , ( , ) . − 0 0 0 f x f x x x x ( ) ( ) , ( , ) . + 于是 0 0 f x f x x U x ( ) ( ) , ( ; ) , 0 即 是 的一个极小值点 x f x( ) . 0 0 同理可证 f x x x ( ) [ , ) 在 + 上递增,故